數學素養

1、在討論問題時，習慣於強調定義（界定概念），強調問題存在的條件；

2、在觀察問題時，習慣於抓住其中的（函數）關係，在微觀（局部）認識基礎上進一步做出多因素的全局性（全空間）考慮；

3、在認識問題時，習慣於將已有的嚴格的數學概念如對偶、相關、隨機、泛涵、非線性、周期性、混沌等等概念廣義化，用於認識現實中的問題。比如可以看出價格是商品的對偶，效益是公司的泛涵等等。

更通俗地說，數學素養就是數學家的一種職業習慣，“三句話不離本行”，我們希望把我們的專業搞得更好，更精密更嚴格，有這種優秀的職業習慣當然是好事。人的所有修養，有意識的修養比無意識地、僅憑自然增長地修養來得快得多。只要有這樣強烈的要求、願望和意識，堅持下去人人都可以形成較高的數學素養。

一位名家說：真正的數學家應能把他的東西講給任何人聽得懂。因為任何數學形式再複雜，總有它簡單的思想實質，因而掌握這種數學思想總是容易的，這一點在大家學習數學時一定要明確。在現代科學中數學能力、數學思維十分重要，這種能力不是表現在死記硬背，不光表現在計算能力，在計算機時代特別表現在建模能力，建模能力的基礎就是數學素養。思想比公式更重要，建模比計算更重要。學數學，用數學，對它始終有興趣，是培養數學素養的好條件、好方法、好場所。希望同學們消除對數學的畏懼感，培養對數學的興趣，增進學好數學的信心，了解更多的現代數學的概念和思想、提高數學悟性和數學意識、培養數學思維的習慣。

請注意，我們往往只注意到數學的思想方法中嚴格推理的一面，它屬於“演繹”的範疇，其實，數學修養中也有對偶的一面――“歸納”，稱之為“合情推理”或“常識推理”，它要求我們培養和運用靈活、猜想和活躍的思維習慣。

下面舉一個例子，看看數學素養在其中如何發揮作用。18世紀德國哥德堡有一條河，河中有兩個島，兩岸於兩島間架有七座橋。問題是：一個人怎樣走才可以不重複的走遍七座橋而回到原地。

這個問題好像與數學關係不大，它是幾何問題，但不是關於長度、角度的歐氏幾何。很多人都失敗了，歐拉以敏銳的數學家眼光，猜想這個問題可能無解（這是合情推理）。然後他以高度的抽象能力，把問題變成了一個“一筆畫”問題，建模如下：見圖右，能否從一個點出發不離開紙面地畫出所有的連線，使筆仍回到原來出發的地方。

以下開始演繹分析，一筆畫的要求使得圖形有這樣的特徵：除起點與終點外，一筆畫問題中線路的交岔點處，有一條線進就一定有一條線出，故在交岔點處匯合的曲線必為偶數條。七橋問題中，有四個交叉點處都交匯了奇數條曲線，故此問題不可解。歐拉還進一步證明了：一個連通的無向圖，具有通過這個圖中的每一條邊一次且僅一次的路，當且僅當它的奇數次頂點的個數為0或為2。這是他為數學的一個新分枝――圖論所作的奠基性工作，後人稱此為歐拉定理。

這個例子是使用數學思維解決了現實問題，另一個例子“正電子”的發現正好相反，是先有數學解，預言了現實問題。1928年英國物理學家狄拉克Dirac在研究量子力學時得到了一個描述電子運動的Dirac方程，由於開平方，得到了正負兩個完全相反的解，也就是說，這個方程除了可以描述已知的帶負電的電子的運動，還描述了除了電荷是正的以外，其他結構、性質與電子一樣的反粒子的運動。1932年物理學家安德森(Anderson)在宇宙射線中得到了正電子，並於1936年獲得諾貝爾物理學獎。我國物理學家趙忠堯1930年正在加州理工學院讀研究生，他的試驗結果一出來，安德森在他的辦公室隔壁辦公，他受啟發，立刻意識到試驗結果表明：一種尚未認知的物質出現了，進一步做工作獲得成功，趙忠堯與諾貝爾獎擦肩而過。

要講這個題目確實很困難，要提高數學素養只有自己去探索、去總結，世界上沒有一種萬能的學習方法對所有人都適用，可是迴避這個問題，又十分遺憾。我們還是用一個折衷的辦法：介紹數學中一個人和一件事，相信青年朋友們能從其中得到許多力量和啟迪。

1707年4月15日，歐拉Euler （1707-1783）出生於瑞士，在大學時受到著名教授伯努利及其家族的影響，閱讀了不少數學家的原著，17歲獲得碩士學位，18歲開始發表數學論文，26歲成為數學教授、科學院院士。

他一生論著數量巨大，涉獵面廣，開創性成果多，發表論文和著作500多篇（部），加上生前未及出版和發表的手稿共886篇（部）之多。在數學的各領域，及物理學、天文學工程學中留下了舉不勝數的數學公式、數學定理。如歐拉常數、歐拉恆等式、歐拉級數、歐拉積分、歐拉微分方程、歐拉準則、歐拉變換、歐拉坐標、歐拉求積公式、歐拉方程、歐拉剛體運動方程，歐拉流體力學方程等。

歐拉有堅韌的毅力和勤奮刻苦的拼搏精神。他28歲時，為計算彗星的軌跡，奮戰三天三夜，因過度勞累，患了眼疾，使右眼失明，又不顧眼病回到嚴冷的俄國彼得堡工作，左眼也很快視力減退，他深知自己將會完全失明，沒有消沉和倒下，他抓緊時間在黑板上疾書他發現的公式，或口述其內容，讓人筆錄。雙目失明后，他的寢室失火，燒毀了所有的專著和手稿，後來妻子又病故了，他在所有這些不幸面前不僅沒有退縮，而是以非凡的毅力繼續拼搏，他以罕見的記憶力和心算能力，繼續研究，讓人筆錄，直到生命的最後一刻。在雙目失明的17年中，他口授論文達400篇，還有幾本書，包括經典名著《積分學原理》，《代數基礎》。

歐拉學識淵博品德高尚，非常注重培養與選拔人才，當時19歲的拉格朗日把自己對“等周問題”的研究成果寄給他，他發現其解決問題的方法解題與自己的不同，立即熱情的給予讚揚，並決定暫不發表自己的成果，使年輕的拉格朗日先後兩次榮獲巴黎科學院的科學獎，後來他又推薦30歲的拉格朗日代替自己任科學院物理數學所所長，他的品德贏得了全世界的尊敬。他晚年的時候，全世界的大數學家都尊稱他為“我的老師”。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯曾多次深情地說：“讀讀歐拉，他是大家的老師”，他不愧為“數學家之英雄”，他這種精神境界至今仍是年輕人學習的榜樣。

法國業餘數學家費馬猜想：Xn+Yn=Zn，對於大於2的整數，不存在x，y，z的非零整數解。他在一本算術書的頁邊空白處寫著“我對此有一種奇妙的證明，只是此處空白太小寫不下”。後人稱此為費馬大定理，人們曾查遍他的手稿和用過的書籍，始終未能得到這個證明。後來的事實證明，這是難於上青天的事。萊布尼茲、高斯、歐拉、柯西等大數學家都失敗了，僅在1909年到1911年這三年間就有一千多篇論文，提出各種證明都因為不嚴格而否定，幾百年來有人廢寢忘食，有人神魂顛倒，甚至於有人失敗后自殺了。

韋爾斯（ Wiles）1953年生於英國劍橋，1977年在劍橋大學獲博士學位，1982年成為普林斯頓大學數學教授，他在10歲時就被費馬大定理迷住了，立志要證明它。1986年他開始下決心要征服這個難題。當教授必須每年發表論文，否則影響職務和前途，這個難題不知道何時才能征服，是否能成為論文都很難說，他想了個兩全之策，他將其它項目中的成果寫成幾篇論文，留著以後慢慢發表。他深知必須運用最近的數學成果和創造出新的方法才能解決這個問題。為了避免干擾，他閉門謝客，只有妻子知道此事，七年後，他完成了證明的論文。1993年6月21日他應邀在劍橋大學的國際數學會議上宣讀論文。當時座無虛席，他的論文朗讀了3天，黑板上寫了擦，擦了又寫，幾萬名聽眾急於想聽到結果。到6月23日快結束時，他最終在黑板上寫出了費馬大定理，然後轉身過來，謙遜地說，我想就到此為止了，大廳響起熱烈的掌聲，消息立刻傳遍了世界。不久后他自己給數學界同行發了一個電子郵件，信中說到他發現證明中有漏洞，這可不是小事，如果仍舊解決不了，一環扣一環的證明將全部瓦解，七載心血將付諸東流，將不成熟的論文公開發表也是十分難堪的事情。但是他不灰心，在最艱難的日子裡，他的好友薩爾納克（Sarnak）不僅鼓勵他，並提議他找一位值得依靠的年輕幫手，經過考慮，他邀請他在英國的學生――劍橋大學講師泰勒（Taylor）一起工作，又經過一年的功夫終於把漏洞部分補上了。1994年8月國際數學大會在蘇黎世又召開大會，他做了最後的報告，人們熱烈地鼓掌，肯定了他們部分證明了預備定理的成績和數論方面的其它成果。又過了2 個月，在1994年9月19日的早晨，他與泰勒討論問題時，突然有了新的想法，又經過一個月的努力終於取得了完全的證明。1994年10月25日，他們向數學界的朋友發了另一個電子郵件，由兩篇論文組成，第一篇是“模橢圓曲線與費馬最後定理”，作者韋爾斯，第二篇是“某些Hooke代數環論的性質”作者是泰勒和韋爾斯。第一篇長文證明了費馬定理，其中關鍵一步依賴於第二篇短文。

這一次人們十分謹慎，直到1998年（四年以後）在柏林舉行的國際數學大會上，第一次向45歲上的數學家頒發了一個費爾茲（Fields）特別獎，正式承認他們卓越貢獻。證明過程中開闢了好多數學的新領域與使用了很多新的方法，證明了很多新的猜想與得到許多新的定理，為數學的發展，特別是在數論的重要分支——代數數論和環論方面做出了重要貢獻，上述前仆後繼、艱苦卓絕的證明的現實意義也在於此。