凸包

計算幾何中的概念

凸包（Convex Hull）是一個計算幾何（圖形學）中的概念。在一個實數向量空間V中，對於給定集合X，所有包含X的凸集的交集S被稱為X的凸包。X的凸包可以用X內所有點（X1，...Xn）的線性組合來構造。在二維歐幾里得空間中，凸包可想象為一條剛好包著所有點的橡皮圈。用不嚴謹的話來講，給定二維平面上的點集，凸包就是將最外層的點連接起來構成的凸多邊型，它能包含點集中所有的點。

目錄
1定義 2平面凸包求法 常見求法
特殊演算法 中心法 水平法
3代碼例 代碼一 代碼二
代碼三

定義

凸包
凸包
⒈對於一個集合D，D中任意有限個點的線性組合的全體稱為D的凸包。
⒉對於一個集合D，所有包含D的凸集之交稱為D的凸包。
可以證明，上述兩種定義是等價的概念
1 點集Q的凸包（convex hull）是指一個最小凸多邊形，滿足Q中的點或者在多邊形邊上或者在其內。右圖中由紅色線段表示的多邊形就是點集Q={p0,p1,...p12}的凸包。
2 一組平面上的點，求一個包含所有點的最小的凸多邊形，這就是凸包問題了。這可以形象地想成這樣：在地上放置一些不可移動的木樁，用一根繩子把他們盡量緊地圈起來，並且為凸邊形，這就是凸包了。

平面凸包求法

常見求法

2.0 Graham's Scan法求解凸包問題 概念
凸包（Convex Hull）是一個計算幾何（圖形學）中的概念。用不嚴謹的話來講，給定二維平面上的點集，凸包就是將最外層的點連接起來構成的凸多邊型，它能包含點集中所有點的。嚴謹的定義和相關概念參見維基百科：凸包。
這個演演算法是由數學大師葛立恆（Graham）發明的，他曾經是美國數學學會（AMS）主席、AT&T首席科學家以及國際雜技師協會（IJA）主席。（太汗了，這位大牛還會玩雜技~）
問題
給定平面上的二維點集，求解其凸包。
過程
⒈ 在所有點中選取y坐標最小的一點H，當作基點。如果存在多個點的y坐標都為最小值，則選取x坐標最小的一點。坐標相同的點應排除。然後按照其它各點p和基點構成的向量；與x軸的夾角進行排序，夾角由大至小進行順時針掃描，反之則進行逆時針掃描。實現中無需求得夾角，只需根據向量的內積公式求出向量的模即可。以下圖為例，基點為H，根據夾角由小至大排序后依次為H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面進行逆時針掃描。
⒉ 線段；一定在凸包上，接著加入C。假設線段；也在凸包上，因為就H，K，C三點而言，它們的凸包就是由此三點所組成。但是接下來加入D時會發現，線段；才會在凸包上，所以將線段；排除，C點不可能是凸包。
⒊ 即當加入一點時，必須考慮到前面的線段是否會出現在凸包上。從基點開始，凸包上每條相臨的線段的旋轉方嚮應該一致，並與掃描的方向相反。如果發現新加的點使得新線段與上線段的旋轉方向發生變化，則可判定上一點必然不在凸包上。實現時可用向量叉積進行判斷，設新加入的點為pn + 1，上一點為pn，再上一點為pn - 1。順時針掃描時，如果向量；與；的叉積為正（逆時針掃描判斷是否為負），則將上一點刪除。刪除過程需要回溯，將之前所有叉積符號相反的點都刪除，然後將新點加入凸包。
在上圖中，加入K點時，由於線段；相對於；為順時針旋轉，所以C點不在凸包上，應該刪除，保留K點。接著加入D點，由於線段；相對；為逆時針旋轉，故D點保留。按照上述步驟進行掃描，直到點集中所有的點都遍例完成，即得到凸包。
複雜度
這個演演算法可以直接在原數據上進行運算，因此空間複雜度為O⑴。但如果將凸包的結果存儲到另一數組中，則可能在代碼級別進行優化。由於在掃描凸包前要進行排序，因此時間複雜度至少為快速排序的O(nlgn）。後面的掃描過程複雜度為O(n），因此整個演演算法的複雜度為O(nlgn）。
凸包
凸包
⒉1　凸包最常用的凸包演演算法是Graham掃描法和Jarvis步進法。
對於一個有三個或以上點的點集Q，過程如下：
計算點集最右邊的點為凸包的頂點的起點，如上圖的P3點。
Do
For i = 0 To 總頂點數
計算有向向量P3->Pi
If 其餘頂點全部在有向向量P3->Pi的左側或右側，則Pi點為凸包的下一頂點
Pi點加入凸包列表
GoTo 1
End If
Next
Exit Do
1:
Loop
此過程執行后，點按極角自動順時針或逆時針排序，只需要按任意兩點的次序就可以了。而左側或右側的判斷可以用前述的矢量點積性質實現。

特殊演演算法

⒉2　求凸包有很多方法，不過最適合OIer和ACMer的估計還是Graham's Scan這個方法了。它的大致方法是這樣的：首先，找到所有點中最左邊的（y坐標最小的），如果y坐標相同，找x坐標最小的；以這個點為基準求所有點的極角（atan2(y-y0,x-x0）），並按照極角對這些點排序，前述基準點在最前面，設這些點為P[0]..P[n-1]；建立一個棧，初始時P[0]、P[1]、P[2]進棧，對於P[3..n-1]的每個點，若棧頂的兩個點與它不構成“向左轉”的關係，則將棧頂的點出棧，直至沒有點需要出棧以後將當前點進棧；所有點處理完之後棧中保存的點就是凸包了。
如何判斷A、B、C構成的關係不是向左轉呢？如果b-a與c-a的叉乘小於0就不是。a與b的叉乘就是a.x*b.y-a.y*b.x。
上面的這個Graham的實現比我原來按照USACO里的課文寫得簡單多了，主要是它通過簡單的預處理保證了P[0]、P[1]以及P[n-1]肯定是凸包里的點，這樣就可以避免在凸包“繞回來”的時候繁雜的處理。

中心法

先構造一個中心點，然後將它與各點連接起來，按斜率遞增的方法，求出凸包上部；再按斜率遞減的方法，求出凸包下部。

水平法

從最左邊的點開始，按斜率遞增的方法，求出凸包上部；再按斜率遞減的方法，求出凸包下部。水平法較中心法減少了斜率無限大的可能，減少了代碼的複雜度。

代碼例

代碼一

（在編輯器中將"_ "(下劃線+空格）替換成兩個空格即可編譯；注意要去掉開通的雙位元組中文空格，蛋疼的百科。）
#include
#include
using namespace std;
struct point
{
_ _ int x;
_ _ int y;
} p[30005],res[30005];//p標記圖中所有的點，res標記凸包上的點
int cmp(point p1,point p2）
{
_ _ return p1.y < p2.y || (p1.y == p2.y && p1.x < p2.x);
}
bool ral(point p1,point p2,point p3） //用叉乘判斷點的位置
{
_ _ return (p2.x - p1.x)*(p3.y - p1.y) > (p3.x - p1.x)*(p2.y - p1.y);
}
int main()
{
_ _ int n,i;
_ _ while(scanf("%d",&n) != EOF) //一共有n個點
_ _ {
_ _ _ _ for(i = 0; i < n; i++)
_ _ _ _ _ _ scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
__ _ _ if(n == 1）
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",p[0].x,p[0].y);
_ _ _ _ _ _ continue;
_ _ _ _ }
_ _ _ _ if(n == 2）
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",p[0].x,p[0].y);
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",p[1].x,p[1].y);
_ _ _ _ _ _ continue;
_ _ _ _ }
_ _ _ _ sort(p,p + n,cmp);
_ _ _ _ res[0] = p[0];
_ _ _ _ res[1] = p[1];
_ _ _ _ int top = 1;
_ _ _ _ for(i = 2; i < n; i++)
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ while(top && !ral(res[top],res[top - 1],p[i]))
_ _ _ _ _ _ top--;
_ _ _ _ _ _ res[++top] = p[i];
_ _ _ _ }
_ _ _ _ int len = top;
_ _ _ _ res[++top] = p[n - 2];
_ _ _ _ for(i = n - 3; i >= 0; i--)
_ _ _ _ {
_ _ _ _ _ _ while(top != len && !ral(res[top],res[top - 1],p[i]))
_ _ _ _ _ _ top--;
_ _ _ _ _ _ res[++top] = p[i];
_ _ _ _ }
_ _ _ _ for(i = 0; i < top; i++)
_ _ _ _ _ _ printf("%d %d\n",res[i].x,res[i].y);//輸出凸包上的點
_ _ }
_ _ return 0;
}

代碼二

#include // 求點集合的凸包的gram演演算法。n是頂點個數，x,y是頂點
坐標。
#include // order 是按照頂點和左下腳的角度的排序后數組。
#include // tu即是逆時針的凸包上的頂點。
#include //
using namespace std; //使用條件：1。點可以任意給，可重複。
// 2。三個以及以上的點。
ifstream fin("input.txt"); // 3。已經考慮了邊上有點的情況。
#define NN 1000
#define pi 3.1415827
typedef struct Cseg{
double x,y,tg;
}Cseg;
int n;
double x[NN],y[NN];
deque order;
deque tu;
Cseg seg1;
deque ::iterator p1;
deque ::iterator p,q;
void in();
void gram();
void makeorder(int s);
double dist(double x1,double yy1,double x2,double yy2）；
double cross(double x1,double yy1,double x2,double yy2）；
void out();
int main()
{
in();
gram();
out();
return 0;
}
void out()
{
int i;
for (i=0;i
cout< <<" "< <
}
cout< <<" Edges Polydgon"<
return;
}
void in()
{
int i;
fin>>n;
for (i=0;i
fin>>x>>y;
return;
}
void gram()
{
int i,mm;
mm=0;
for (i=1;i
if (y[mm]>y+1e-9） mm=i;
else if (fabs(y[mm]-y)<1e-9 && x[mm]>x+1e-9） mm=i;
makeorder(mm);
seg1.x=x[mm];
seg1.y=y[mm];
tu.clear();
tu.push_back(0);
tu.push_back⑴；
tu.push_back⑵；
for (i=3;i
p=tu.end();
seg1.x=order.x;
seg1.y=order.y;
p--;
q=p-1;
if
（cross(order[*p].x-order[*q].x,order[*p].y-order[*q].y,order.x-order[*
q].x,order.y-order[*q].y)>1e-9）
tu.push_back(i);
else{
tu.pop_back();
i--;
continue;
//tu.push_back(i);
}
}//for
return;
}
void makeorder(int s)
{
int i;
double tg;
order.clear();
for (i=0;i
if (i==s) continue;
tg=atan2(y-y[s],x-x[s]);
seg1.x=x;
seg1.y=y;
seg1.tg=tg;
p1=order.begin();
while (p1!=order.end()){
if (fabs(tg-p1->tg)<1e-9）{
if
（dist(x[s],y[s],x,y)>dist(x[s],y[s],p1->x,p1->y)+1e-9） {
p1->x=x;
p1->y=y;
}
break;
}
else
if (tg tg){
order.insert(p1,seg1）；
break;
}
p1++;
}//while
if (p1==order.end()) order.insert(p1,seg1）；
}//for
seg1.x=x[s];seg1.y=y[s];
order.insert(order.begin(),seg1）；
//for (i=0;i
// printf("i=%d %lf %lf
%lf\n",i,order.x,order.y,order.tg*180/pi);
return;
}
double cross(double x1,double yy1,double x2,double yy2）
{
return (x1*yy2-x2*yy1）；
}
double dist(double x1,double yy1,double x2,double yy2）
{
return pow((x1-x2）*(x1-x2）+(yy1-yy2）*(yy1-yy2），0.5）；
}

代碼三

P標程{pku 1113 }
{$Q-,S-,R-}
const
pi=3.1415926575;
zero=1e-6;
maxn=1000;
maxnum=100000000;
var
ans,temp :extended;
n,tot :longint;
x,y :array[0..maxn]of extended;
zz,num :array[0..maxn]of longint;
procedure swap(var ii,jj:extended);
var
t :extended;
begin
t:=ii;ii:=jj;jj:=t;
end;
procedure init;
var
i,j :longint;
begin
readln(n,temp);
for i:=1 to n do readln(x[i],y[i]);
end;
function ok(x,midx,y,midy:extended):longint;
begin
if abs(x-midx)<=zero then
begin
if abs(midy-y)<=zero then exit(0);
if midy>y then exit⑴
else exit⑵；
end
else
begin
if x
else exit⑵；
end;
end;
procedure qsort(head,tail:longint);
var
i,j :longint;
midx,midy :extended;
begin
i:=head;
j:=tail;
midx:=x[(head+tail) div 2];
midy:=y[(head+tail) div 2];
repeat
while ok(x[i],midx,y[i],midy)=1 do inc(i);
while ok(x[j],midx,y[j],midy)=2 do dec(j);
if i<=j then
begin
swap(x[i],x[j]);
swap(y[i],y[j]);
inc(i);
dec(j);
end;
until i>j;
if i
if j>head then qsort(head,j);
end;
function Plot(x1,y1,x2,y2:extended):extended;
begin
Plot:=x1*y2-x2*y1;
end;
function check(first,last,new:longint):boolean;
var
ax,ay,bx,by :extended;
Pt :extended;
begin
ax:=x[last]-x[first];ay:=y[last]-y[first];
bx:=x[new]-x[first];by:=y[new]-y[first];
if Plot(ax,ay,bx,by)<-zero then exit(true)
else exit(false);
end;
procedure Tbao;
var
i,j,tail :longint;
begin
tot:=0;
zz[1]:=1;tail:=1;
for i:=2 to n do
begin
while (zz[tail]<>1）and check(zz[tail-1],zz[tail],i) do dec(tail);
inc(tail);
zz[tail]:=i;
end;
inc(tot,tail-1）；
for i:=1 to tail-1 do
num[i]:=zz[i];
zz[1]:=n;tail:=1;
for i:=n-1 downto 1 do
begin
while (zz[tail]<>n)and check(zz[tail-1],zz[tail],i) do dec(tail);
inc(tail);
zz[tail]:=i;
end;
for i:=1 to tail-1 do
num[tot+i]:=zz[i];
inc(tot,tail-1）；
end;
function dist(a,b:longint):extended;
begin
dist:=sqrt((x[a]-x[b])*(x[a]-x[b])+(y[a]-y[b])*(y[a]-y[b]));
end;
procedure main;
var
i,j :longint;
begin
qsort（1,n);
Tbao;
ans:=0;
for i:=1 to tot-1 do
ans:=ans+dist(num[i],num[i+1]);
ans:=ans+dist(num[tot],num[1]);
ans:=ans+temp*pi*2;
writeln(ans:0:0);
end;
begin
init;
main;
end.

基本信息

中文名
凸包
外文名
Convex Hull
定義
包含X的凸集的交集
內容
一個計算幾何（圖形學）中的概念
條件
二維歐幾里得空間中