介值定理

設函數y=f(x)在閉區間[a,b]上連續，且在這區間端點處取值不同時，即：f(a)=A,f(b)=B,且A≠B。那麼，不論C是A與B之間的怎樣一個數，在閉區間[a,b]內至少有一點ξ，使得f(ξ)=C。

特別地，如果f(a)與f(b)異號，那麼在開區間（a,b）內至少有一點ξ，使得f(ξ)=0(a<ξ>

在[a,b]上連續的曲線與。

特別地，如果A與B異號，則連續曲線與x軸至少相交一次。

“介值定理”是閉區間上連續函數的性質之一。

定理取決於，或者說等價於實數的完整性。介值定理不適用於有理數Q，因為有理數之間存在無理數。例如，函數 滿足 。然而，不存在有理數x使得 ，因為 是一個無理數。

該定理可以根據實數的完整性來證明：

我們將證明第一種情況， ，第二種情況類似。

讓S是[a，b]中的所有x的集合，讓 。S是非空的因為a是S的元素，並且b是S的邊界。因此，通過完整性，存在上限 。也就是說，c是大於或等於S的每個元素的最小數。我們稱 。

存在 。由於f是連續的，當 時，存在 ，使得 。這意味著

對於所有的 ，存在屬於S的 ，使得

選擇 ，這顯然不會包含在S中，所以我們有

兩種不等式

對於所有的 都是成立的，如我們所說，我們推導出 是唯一可能的值。

介值定理也可以使用非標準分析的方法來證明，這在非常嚴格的基礎上提出了涉及無限小數的“直觀”論證。（見文章：非標微積分）

對於上面的u=0，該聲明也稱為博爾扎諾定理。這個定理在1817年被伯納德·博爾扎諾（BernardBolzano）首次證明。奧古斯丁-路易·柯西在1821年提供了一個證據。兩者的靈感來自於對約瑟夫·路易斯拉格朗日函數的分析正式化的目標。連續函數具有中間值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通過提供用於構造解的十進位擴展的演演算法，證明了多項式的介值定理（以立方為例）。該演演算法迭代地將間隔細分為10個部分，在迭代的每個步驟產生一個附加的十進位數字。在給出連續性的正式定義之前，將介值作為連續函數定義的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（LouisArbogast），沒有跳躍的函數滿足介值定理，並且具有尺寸對應於變數大小的增量。早期的作者認為結果是直觀的，不需要證明。博爾扎諾和柯西的觀點是定義一個連貫性的概念（就柯西案中的無限小數而言，在博爾扎諾案中使用實際的不平等），並提供基於這種定義的證據。

“Darboux函數”是具有“介值屬性”的實值函數f，即滿足介值定理的結論：對於f的域中的任何兩個值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之間有一些c，f（c）=y。介值定理說每個連續函數都是一個Darboux函數。但是，並不是每個Darboux功能都是連續的；即介值定理的相反是錯的。

例如，對於x>0和f（0）=0，取 定義的函數 在x=0時連續，這個函數在x=0處不連續，但是該函數具有介值屬性。

歷史上，這個介值屬性被建議為實數函數連續性的定義，但這個定義沒有被採納。

Darboux定理指出，由某些區間上某些其他函數的區分產生的所有函數都具有介值屬性（儘管它們不需要連續）。

定理意味著，在世界各地的任何一個大環境中，對於溫度，壓力，高程，二氧化碳濃度來說，如果是連續變化的，那麼總是會存在兩個與該變數相同值的對映點。

證明：將f作為圓上的任何連續函數。在圓的中心繪製一條線，在兩個相對的點A和B處與其相交。令d由差定義。如果線旋轉180度，將取代值-d。由於介值定理，必須有一些中間旋轉角，其中d=0，因此 在該角度。

對於任何封閉的凸n（n>1）尺寸形狀。具體來說，對於其領域是給定形狀的任何連續函數，以及形狀（不一定是其中心）內的任何點，相對於函數值相同的給定點存在兩個對象點。證明與上述相同。

這個定理也是為什麼旋轉搖擺表將使其變得穩定的解釋（受到某些容易遇到的限制）。 

特殊情況

如果f(a)與f(b)異號，那麼在開區間（a,b）內至少有一點ξ，使得f(ξ)=0(a<ξ零點定理。 

幾何意義

連續曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少相交於一點。特別地，如果A與B異號，則連續曲線與x軸至少相交一次。

在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)的值域為閉區間[m,M]，其中m與M依次為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。