序數

表示次序的數目。漢語表示序數的方法較多。通常是在整數前加“第”，如：第一，第二。也有單用基數的。如：五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土。此外還有些習慣表示法，如：頭一回、末一次、首次、正月、大女兒、小兒子。序數後邊直接連量詞或名詞的時候，可省去“第”，如：二等、三號、四樓、五班、六小隊、1949年10月1日等。

序數原來被定義為良序集的序型，而良序集A的序型，作為從A的元素的屬性中抽象出來的結果，是所有與A序同構的一切良序集的共同特徵，即定義為{B|BA}。

這個定義從形式上看來是十分簡單明了的，但在ZFC公理系統中不能證明它構成一個集合。事實上，{B|BA}是一個真類。因此，原來的那個定義是不成功的，必須修正，另走別的途徑。設 α是一個良序集，，稱為在良序集α中由ξ所生成的初始截段。

1923、1928年，J.馮·諾伊曼把序數定義為滿足下述條件的良序集α：對於一切。例如在集合中取一個元素2，中任何其他元素也具有這個性質，所以9是一個序數。集A稱為歸納集，如果①═∈A，②只要α∈A就有。歸納集A的存在性是由無限公理保證的。A的一切歸納子集之交N稱為自然數集，它是最小的歸納集。N是良序的，並且其中任一元素n的初始截段，所以N是一個序數，這個序數通常用ω表示。N的每一個元素n都是序數，稱為有限序數。有限序數以屬於每一個歸納集作為特徵。其他序數稱為超限序數，ω就是最小的超限序數。

1937年R,M.魯賓遜給出了序數的另一等價定義，良序集<；α∈>；是一個序數，若〈α，∈〉是傳遞集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α，這些定義沒有康托爾原來定義的缺點。

第一種是0；第二種是某一序數α的後繼α′=α∪{α},稱為後繼序數；其他序數屬於第三種，稱為極限序數。對於任何良序集A，必有一個且僅有一個序數α使A與α序同構，此時α稱為A的序數，用凴 =α表示。任何兩個具有相同序數的良序集，必定序同構，因此序數是同構良序集的共同特徵，這正是康托爾序數概念的實質。

設為一序數列，在集合A=（圖一）中規定其任意兩個元素〈γ，i〉、〈δ，j〉的次序如下：<γ，i><<δ，j>；當且僅當或者且γ<δ；則〈A,<；〉構成一個良序集。A的序數可定義為序數列之和，用（圖二）表示之。特別地，當時， （圖三）可簡寫為；當對於任何ξ<λ，時，可寫成，稱為兩個序數α，λ的乘積。對於任何序數α、β、γ，它們的加、乘運算滿足：①結合律，，（α·β）·γ=α·（β·γ）；②左分配律，。但交換律與右分配律對序數的和、積卻並不成立，例如：。由於全體序數構成一個真類（布拉利-福爾蒂定理），因此對於任何極限序數λ，序數列總有上界，且必然存在最小的上界，它就是序數列的上確界（圖五）。設α，β為序數，歸納地定義αβ如下：（圖六）對於任何序數α、β、γ，序數的冪滿足：①同底冪的積，②冪的冪，（圖8）。序數的冪運算不滿足“積的冪”性質：

偏序全序和良序

次序是二元關係（見映射）的一個非常重要的類型。

設R是定義在A上的滿足下列條件的二元關係：

①對於一切x∈A有xRx（自反性）；

② 對於一切x，y∈A，由xRy與yRx可得x=y（反對稱性）；

③對於一切x，y，z∈A，由xRy與yRz可得xRz（傳遞性），就稱R是定義在A上的偏序，也稱半序。偏序R通常記為≤或≤，α≤b）讀作α在b前。

集合A連同其上定義的偏序≤，稱為偏序集，記為〈A，≤〉。實數集上的通常的大小關係、集合之間的被包含關係、自然數之間的可整除關係都是偏序的例。設≤為A上的偏序。如果在A上定義一個關係<；，使得x

①′對任何x∈A，x

②′由x

因此在偏序與嚴格偏序之中只需討論一種就夠了。設〈A，≤〉為一偏序集，如果x0∈A且在A中沒有其他x使x≤x0，則稱x0為A的一個極小元（素）。如果對於一切x∈A有x0≤x，則稱x0為A中的最小元（素），正整數集在整除的偏序下1是最小元，但若只限於大於1的整數，則只有極小元（每個質數）而無最小元。

仿此可定義極大元與最大元。設x為偏序集〈A，≤〉的子集，如果存在α∈A，使得對於一切x∈x，有α≤x，則稱α為x（關於A）的一個下界。如果x的關於A的一切下界有一最大元α0，就稱α0為x（關於A）的下確界，記為infx。仿此可定義上界和上確界，後者記為supx。

A上的偏序≤，如果再加上條件④對於一切x，y∈A，總有x≤y或y≤x（至少有一成立），就稱≤為A上的全序，也稱線序。〈A，≤〉稱為全序集。顯然，在全序集中xy，三者必居其一且僅居其一。實數集及其任何子集在通常的≤關係下是全序集的例。

對於全序集〈A，≤〉如果再加上條件⑤A的任一非空子集都有最小元，就稱≤為A上的良序，〈A，≤〉稱為良序集。按任何順序排起來的有限集，按自然順序的自然數集，將所有奇數排在前面、所有偶數排在後面的自然數集{1，3，5，…，2，4，6，…}都是良序集之例。但整數全體，區間[0，1]，就不是良序集。設,；為兩個偏序集，如果存在A到B的雙射φ使得對於一切x，y∈A,x≤1y當且僅當φ(x）≤2φ(y），便稱兩偏序集為序同構，記為A埍B。例如奇數集與偶數集序同構，但是上面列舉的三個良序集沒有兩個是序同構的。