單位圓

如果單位圓上的點位於第一象限，那麼x與y是斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊，根據勾股定理，x與y滿足方程：

由於對於所有的x來說，並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上，因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。

在三角學中，單位圓通常是指歐幾里德平面直角坐標系中圓心為、半徑為 1 的圓。在教科書中，它常常出現在三角函數入門的那幾頁，並且與稱為三角函數線的幾條線段在一起，用於定義或解釋實數的三角函數值。一般地，在複平面內，n 個 n 次的單位根所對應的點正。

1. 在複平面（即高斯平面）上，單位圓誘導了著名的歐拉公式和棣莫佛定理。換句話說，單位圓上的點表示模長為1的複數，它誘導了複數的三角形式和指數形式之間的關係。

2. 單位圓上有自然的群結構：即弧度的加法群結構。換句話說，就是模長為1的複數集合 上有一個自然的乘法結構。

3. 單位圓誘導了幾何反演變換，這和複變函數論的諸多結論密切相關。

4. 單位圓是最簡單的非單連通 的拓撲空間之一，常記為. 它的基本群同構於整數群。

5. 單位圓同胚於射影直線，是拓撲學中最基本的研究對象。這個同胚映射來自於從北極點作的球極投影。

6. 單位圓盤到自身的連續映射一定存在不動點。這就是著名的布威勞爾 不動點定理。

7. 單位圓的群結構誘導了著名的指數映射，和微分幾何中著名的陳類（也稱陳示性類，因陳省身得名）有著深遠的聯繫。

1. 單位圓廣泛應用於三角函數，對正弦函數，餘弦函數，正切函數等的定義，函數圖像的繪製有重要作用！

2. 定義三角函數線

3. 單位圓應用於檢測心率異常與否的一種圖像標準。