南部－戈德斯通定理

在數學里，連續對稱是觀察如運動等之某些對稱性概念而自然產生出的觀念，和由一個狀態翻轉至另一狀態而不變的鏡射對稱相對。它大量地且成功地被公式化於數學的許多如拓撲群、集群及群作用等概念上。連續對稱在這些公式化的概念中，最實用的是在拓撲群之群作用中的被應用。

最簡單的運動可以視為如三維空間中的歐幾里德群等李群的單參數子群。例如，平行x軸、u單位量之平移為單參數群。繞為z軸的旋轉也是單參數群。

連續對稱在理論物理中的諾特定理有著很基本的重要性，此定理由系統的對稱(尤其是連續對稱)中導出守恆定律來。量子場論的進一步發展使得對自然界里連續對稱的尋找變得熱絡了起來。

自發對稱破缺（spontaneous symmetry breaking）是某些物理系統實現對稱性破缺的模式。當物理系統所遵守的自然定律具有某種對稱性，而物理系統本身並不具有這種對稱性，則稱此現象為自發對稱破缺。這是一種自發性過程（spontaneous process），由於這過程，本來具有這種對稱性的物理系統，最終變得不再具有這種對稱性，或不再表現出這種對稱性，因此這種對稱性被隱藏。因為自發對稱破缺，有些物理系統的運動方程或拉格朗日量遵守這種對稱性，但是最低能量解答不具有這種對稱性。從描述物理現象的拉格朗日量或運動方程，可以對於這現象做分析研究。

對稱性破缺主要分為自發對稱破缺與明顯對稱性破缺兩種。假若在物理系統的拉格朗日量里存在著一個或多個違反某種對稱性的項目，因此導致系統的物理行為不具備這種對稱性，則稱此為明顯對稱性破缺。

如右圖所示，假設在墨西哥帽（sombrero）的帽頂有一個圓球。這個圓球是處於旋轉對稱性狀態，對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置不變。這圓球也處於局部最大引力勢的狀態，極不穩定，稍加攝動，就可以促使圓球滾落至帽子谷底的任意位置，因此降低至最小引力勢位置，使得旋轉對稱性被打破。儘管這圓球在帽子谷底的所有可能位置因旋轉對稱性而相互關聯，圓球實際實現的帽子谷底位置不具有旋轉對稱性──對於繞著帽子中心軸的旋轉，圓球的位置會改變。

大多數物質的簡單相態或相變，例如晶體、磁鐵、一般超導體等等，可以從自發對稱破缺的觀點來了解。像分數量子霍爾效應（fractional quantum Hall effect）一類的拓撲相（topological phase）物質是值得注意的例外。

在量子場論里，手征對稱性（chiral symmetry）是物理系統的拉格朗日量可能具有的一種對稱性。具有手征對稱性的物理系統，其狄拉克場的左手部分與右手部分可以獨立變換。這樣，拉格日量的各個項目可以被分為矢量部分和軸矢量部分。矢量部分對於左手部分與右手部分同等處理；軸矢量部分對於左手部分與右手部分不同等處理。

手征性的概念不僅出現在量子場論，在超弦理論里也有所用途，例如：IIA型弦中狄拉克場的右手模不具手征對稱性，導致理論不能滿足現實模型的基本條件。

• 手征對稱性