實無限

在微積分理論的萌芽時期，數學家們曾採取純粹的實無限觀念，即把無窮小看成一種固定的無窮小量。在法國柯西和魏爾斯特拉斯建立嚴格的極限理論后，無窮小量就被拋棄了，代之以潛無限即生成中的無限的觀點。

直到20世紀60年代初羅賓遜建立了非標準分析，無窮小分析的方法才得以恢復。

在19世紀，潛無限的觀念已在數學中佔據了主要地位，而且這種傾向還發展到對實無限性對象的絕對排斥。

19世紀末，康托爾建立的集合論使實無限性重新成為數學的對象。

隨著集合論悖論出現，圍繞著數學無限的問題，數學哲學各流派間的爭論至今仍在進行。

數學上的實無窮思想是指：把無限的整體本身作為一個現成的單位，是已經構造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。按照此觀點，所有的自然數可以構成一個集合，因為可以將所有的自然數看做是一個完成了的無窮整體。康托的樸素集合論就是建立在實無窮的基礎之上的。舉個形象點的例子就是，一條線段上的點有無窮個，但是這條線段本身又是有限的。

數學上存在著潛無窮與實無窮之爭，就如同哲學上存在著唯物主義與唯心主義之爭。而且必將長時間的持續的爭論不休。數學上的潛無窮思想是指：把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著被不斷產生出來的東西來解釋。它永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。把無限看作為永遠在延伸著的（即不斷在創造著的永遠完成不了的）過程。按照此觀點，自然數不能構成為一個集合，因為這個集合是永遠也完成不了的，它不能構成一個實在的整體，而是永遠都在構造之中。舉個形象點的例子就是，構成一條直線的點有無窮個，並且這條直線永遠延伸著，不會有終結的一天。

哲學：有包含無窮多個無。

幾何：線條包含無窮多個點。

算術：1包含無窮多個0。

物理：時段包含無窮多個時刻。

上面四個命題中的無窮多便是實無窮。這四個命題是彼此同構的。