實無限

實無限

實無限是在數學基礎研究中,把無限作為一種已經形成了的對象來加以考察。持此實無限觀點的最早的代表是柏拉圖

發展


在微積分理論的萌芽時期,數學家們曾採取純粹的實無限觀念,即把無窮小看成一種固定的無窮小量。在法國柯西和魏爾斯特拉斯建立嚴格的極限理論后,無窮小量就被拋棄了,代之以潛無限即生成中的無限的觀點。
直到20世紀60年代初羅賓遜建立了非標準分析,無窮小分析的方法才得以恢復。
在19世紀,潛無限的觀念已在數學中佔據了主要地位,而且這種傾向還發展到對實無限性對象的絕對排斥。
19世紀末,康托爾建立的集合論使實無限性重新成為數學的對象。
隨著集合論悖論出現,圍繞著數學無限的問題,數學哲學各流派間的爭論至今仍在進行。

實無窮


數學上的實無窮思想是指:把無限的整體本身作為一個現成的單位,是已經構造完成了的東西,換言之,即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。按照此觀點,所有的自然數可以構成一個集合,因為可以將所有的自然數看做是一個完成了的無窮整體。康托樸素集合論就是建立在實無窮的基礎之上的。舉個形象點的例子就是,一條線段上的點有無窮個,但是這條線段本身又是有限的。
數學上存在著潛無窮與實無窮之爭,就如同哲學上存在著唯物主義唯心主義之爭。而且必將長時間的持續的爭論不休。數學上的潛無窮思想是指:把無限看作永遠在延伸著的,一種變化著成長著被不斷產生出來的東西來解釋。它永遠處在構造中,永遠完成不了,是潛在的,而不是實在。把無限看作為永遠在延伸著的(即不斷在創造著的永遠完成不了的)過程。按照此觀點,自然數不能構成為一個集合,因為這個集合是永遠也完成不了的,它不能構成一個實在的整體,而是永遠都在構造之中。舉個形象點的例子就是,構成一條直線的點有無窮個,並且這條直線永遠延伸著,不會有終結的一天。
哲學:有包含無窮多個無。
幾何:線條包含無窮多個點。
算術:1包含無窮多個0。
物理:時段包含無窮多個時刻。
上面四個命題中的無窮多便是實無窮。這四個命題是彼此同構的。