變換理論

它包括兩方面的內容﹕

正則變換 分析力學中的哈密頓方程又稱正則方程﹐它具有對稱性等一些優點﹐是解決力學問題的一種常用的方程形式﹐如果變數變換后新方程仍保持正則形式﹐這種變換稱為正則變換。若在變換中不顯含時間﹐這樣的正則變換稱為保守正則變換﹔若保守正則變換使哈密頓函數不變﹐則此保守正則變換稱為完全正則變換。1916年﹐蔡佩爾用正則變換尋找循環坐標的方法處理天體力學中的具體問題﹐這種方法稱為蔡佩爾方法。1959年﹐布勞威爾用蔡佩爾方法處理人造天體的運動問題﹐稱為布勞威爾－蔡佩爾方法。這種方法採用的正則變換是由隱函數定義的﹐要經過複雜的計算才能給出新舊變數的顯函數關係。堀源一郎把李級數的概念和結果應用到正則變換﹐通常稱為堀源-李變換。堀源一郎還把這種理論從正則系統推廣到非正則系統﹐並應用到受攝開普勒運動和非線性振動問題上。謝費勒把正則變換的概念推廣到不同維數空間之間的變換﹐並給出了進行這種變換的一些條件。

正規化變換 消除質點組運動方程中碰撞奇點(見碰撞問題)的變換稱為正規化變換。它通常包含自變數變換和坐標變換兩部分。正規化變換消除運動方程的奇點后﹐使新的坐標成為新的自變數的解析函數﹐這樣就便於從理論上進行討論﹐並有可能給出運動方程解的具體表達方式。三體問題中著名的松德曼級數就是在對二體碰撞奇點進行正規化變換以後得到的。對於一些可積的問題﹐正規化變換往往指出了積分的途徑。在平面圓型限制性三體問題中﹐蒂勒變換可以用來積分雙不動中心問題。用數值方法積分包含碰撞奇點的運動方程時﹐離碰撞奇點越近﹐方程右端函數的變化就越快。在這種情況下﹐積分步長必須急劇減小﹐這樣既耗費計算時間﹐又不能保證精度。正規化變換以後可大大提高計算效率和計算精度。

平面二體問題中最著名的正規化變換是列維－齊維他變換。變換后的運動方程在能量常數小於零時是簡諧振動方程。將列維-齊維他變換直接推廣﹐用於空間二體問題﹐便形成KS變換。在空間二體問題中﹐還有莫澤變換。這是用球極平面射影及其正則擴充﹐把2n 維相空間變換成n +1維空間的單位球面及其切空間。當n =3時﹐可以把具有負能量的開普勒軌道變換成球面上的測地線﹐把碰撞奇點變換成球面上的一個極點﹐經過這個極點的大圓對應於碰撞軌道。

將以上這些正規化變換用到多體問題中都只能使一個二體碰撞奇點正規化﹐因而這些變換稱為局部正規化變換。局部正規化已能解決許多實際工作的數值積分問題和部分理論課題。使所有的二體碰撞奇點同時進行正規化的變換稱為全局正規化變換﹐這比局部正規化要困難得多。研究平面圓型限制性三體問題的全局正規化的歷史最長﹐結果也比較完善。一般採用以兩個大質量質點連線中點為原點的旋轉坐標系。將舊坐標 z 和新坐標都作為復變數﹐它們之間的關係用保角映射z =f ()表示。自變數t 變換成s 的關係是dt /ds =|dz /d|。這些變換中最著名的是蒂勒變換z =(cos)/2。蒂勒變換曾被用來對平面圓型限制性三體問題的周期軌道進行了大量的數值積分工作。另外﹐還有z =(+)/4的變換。當n =1時﹐為伯克霍夫變換﹔而n =2時﹐則為勒梅特變換。所有這些變換都同時使兩個碰撞奇點正規化﹐剩下唯一的碰撞奇點是z平面系奈耷鈐兜恪

V.G.Szebehely﹐ Theory of orbits-The Restricted Problem of Three Bodies﹐Academic Press﹐New York﹐1967.

E.L.Stiefel and G.Scheifele﹐Linear and Regular Celestial Mechanics﹐Springer-Verlag﹐Berlin﹐1971.