向量線
向量線
向量線(vector line)是向量場中具有特定意義的曲線,指其切線方向與場中向量一致的向量場中的曲線。設f是定義在區域Ω⊆R上的向量場,Γ是Ω中的光滑曲線,若Γ上每一點處的切向量的方向與f在該點的方向一致,則Γ稱為場f的向量線。例如勢場f的向量線是它的勢函數的梯度線,即這個勢函數變化最快的線。若f是穩定流動(即與時間無關)的流體的速度場,則它的向量線是流體質點的移動軌跡,稱為流線,若f是引力場,則相應的向量線稱為力線。
我們知道,在穩定流動的流體中,質點的瞬時運動方向是該點的速度方向,這就是說,流體中質點的運動軌跡的切線方向,就是速度方向,這條軌跡稱為 流線。這就是一般向量場中的 向量線概念。
設
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
就是向量線在點處的切向量。由定義,它與在點處的場向量共線,因此
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向量線
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向量線
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向量線
這就是向量線所滿足的方程,如果解出它的話,一般就得到 向量線族。如果再利用過點這個條件,就得到過點的向量線。一般來說,向量場中每一點有一條且僅有一條向量線通過它,向量線族充滿了向量場所在的空間。
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
其中為點到原點的距離,,為真空介電常數。
將E具體寫出來就是
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
所以
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
2. 設為任意一張光滑或分片光滑的封閉曲面。
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向量線
(i) 如果內不含原點。記所包圍的區域為,則由Gauss公式得
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向量線
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向量線
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向量線
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向量線
(ii) 如果內含有原點,那麼不能直接用Gauss公式。在曲面所包圍的區域內取一個以原點為心的小球面,定向取內側。記為介於與之間的區域。由Gauss 公式得
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向量線
因此從內部穿出曲面的電通量
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向量線
因此,電場強度穿出任一封閉曲面的電通量等於其內部的電荷量除以,這正是電磁學中的 Gauss定律。
此外,利用前面的討論,電場強度的向量線(即電力線)應滿足關係式
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向量線
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圖1