費爾巴哈定理
費爾巴哈定理
三角形的九點圓與其內切圓以及三個旁切圓相切。
全局圖
假設與相切於點，那麼LT與相交，設另一個交點為。
過點作的切線，分別交和於，連接。
又作兩圓的公切線，使其與邊位於的同側。
由假設知
而和都是的切線，且與弦所夾的圓弧相同，於是
局部圖1
則
這就是說，共圓。
而這等價於：
又
故有
另一方面，是公共的切點，自然在上，
因此共圓，進而有
局部圖2
而
（這裡用了，以及直角三角形斜邊上中線等於斜邊的一半）
所以，就得到
注意到均與相切，於是有
三式相加，即知
也即是說三點共線。
另外，，這可由得到。
（這說明，公切點可如下得到：
連接，並延長交於點，
過點作的切線，切點為，交於，
最後連接，其延長線與的交點即是所謂的公切點。
連接，與交於點，
則是的中點。
前面已得到：
而
即
然而
是的中位線
於是
因之
故
由於以上推導均可逆轉，因此我們只需證明：。往證之
這等價於：與圓相切
於是只需證：
局部圖3
又是角平分線，於是
於是又只需證：
即證：
這即是證：四點共圓
由於（易得），
所以確實共圓。
這就證明了與內切。
旁切圓的情形是類似的。
證畢
另略證：
(其中是垂心H的垂足三角形的內切圓半徑，是三角形外接圓和內切圓半徑)
這就證明了九點圓與內切圓內切（九點圓半徑為外接圓半徑一半。是九點圓圓心，為內心）
