尺規作圖

僅以“有限次使用無刻度的直尺和圓規作圖”這樣的措辭作為定義顯然是不夠嚴密的，因為不限定每“次”以內的操作複雜度的話，“有限次”就成無意義的了。

因此，一般採用的定義是基於“作圖公法”的定義，即：

1. 每次的操作只能是公認允許的五項基本操作（稱為五項作圖公法）之一。

2. 每次操作之前，操作者為決定是否操作和進行哪種操作可以進行的邏輯判斷，也只能是幾何學中公認允許的幾種。

基於“作圖公法”的定義如下：

尺規作圖定義

承認以下五項前提，有限次運用以下五項公法而完成的作圖方法，就是合法的尺規作圖：

五項前提是：

(1) 允許在平面上、直線上、圓弧線上已確定的範圍內任意選定一點（所謂“確定範圍”，依下面四條的規則）。

(2) 可以判斷同一直線上不同點的位置次序。

(3) 可以判斷同一圓弧線上不同點的位置次序。

(4) 可以判斷平面上一點在直線的哪一側。

(5) 可以判斷平面上一點在圓的內部還是外部。

五項公法是：

(1) 根據兩個已經確定的點作出經過這兩個點的直線。

(2) 以一個已經確定的點為圓心，以兩個已經確定的點之間的距離為半徑作圓。

(3) 確定兩個已經做出的相交直線的交點。

(4) 確定已經做出的相交的圓和直線的交點。

(5) 確定已經做出的相交的兩個圓的交點。

也有些資料上給出的五項公法的后兩條中的“交點”改為“公共點”。這兩種敘述差別在於後者多包括了“切點”。但是，因為確定切點即使不算基本操作，也是可以用其它基本操作組合實現的。所以，兩種敘述的定義並無本質不同。

1徠、作一條線段等於已知線段

2、作一個角等於已知角

3、作已知線段的垂直平分線

4、作已知角的角平分線

5、過一點作已知直線的垂線

6、已知三邊作三角形

7、已知兩角、一邊作三角形

8、已知一角、兩邊作三角形

以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：

1、通過兩個已知點可作一直線。

2、已知圓心和半徑可作一個圓。·

3、若兩已知直線相交，可求其交點。

4、若已知直線和一已知圓相交，可求其交點。

5、若兩已知圓相交，可求其交點。

尺規作圖不能問題就是不可能用尺規作圖完成的作圖問題。其中最著名的是被稱為幾何三大問題的古典難題：

■倍立方問題：作一個立方體，使它的體積是已知立方體的體積的兩倍；

■化圓為方問題：作一個正方形，使它的面積等於已知圓的面積。

■三等分角：作一個角，將其分為三個相等的部分。

以上三個問題在2400年前的古希臘已提出這些問題，但在歐幾里得幾何學的限制下，以上三個問題都不可能解決的。直至1837年，法國數學家萬芝爾才首先證明“三等分角”和“倍立方”為尺規作圖不能問題。而後在1882年德國數學家林德曼證明π是超越數后，“化圓為方”也被證明為尺規作圖不能問題。

還有另外兩個著名問題：

■作正多邊形

只使用直尺和圓規，作正五邊形。

只使用直尺和圓規，作正六邊形。

只使用直尺和圓規，作正七邊形——這個看上去非常簡單的題目，曾經使許多著名數學家都束手無策，因為正七邊形是不能由尺規作出的。

只使用直尺和圓規，作正九邊形，此圖也不能作出來，因為單用直尺和圓規，是不足以把一個角分成三等份的。

問題的解決：高斯，大學二年級時得出正十七邊形的尺規作圖法，並給出了可用尺規作圖的正多邊形的條件：尺規作圖正多邊形的邊數目必須是2的非負整數次方和不同的費馬數的積，解決了兩千年來懸而未決的難題。

■四等分圓周

只准許使用圓規，將一個已知圓心的圓周4等分．這個問題傳言是拿破崙·波拿巴出的，向全法國數學家的挑戰。

“規”就是圓規，是用來畫圓的工具，在我國古代甲骨文中就有“規”這個字。“矩”就像木工使用的角尺，由長短兩尺相交成直角而成，兩者間用木杠連接以使其牢固，其中短尺叫勾，長尺叫股。

矩的使用是我國古代的一個發明，山東歷城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手執矩，女媧氏手執規”之圖形。矩不僅可以畫直線、直角，加上刻度可以測量，還可以代替圓規。甲骨文中也有矩字，這可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.

《史記》卷二記載大禹治水時“左準繩，右規矩”.趙爽注《周髀算經》中有“禹治洪水，……望山川之形，定高下之勢，……乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先測量地勢的高低，就必定要用勾股的道理。這也說明矩起源於很遠的中國古代.

春秋時代也有不少著作涉及規矩的論述，《墨子》卷七中說“輪匠(製造車子的工匠)執其規矩，以度天下之方圓.”《孟子》卷四中說“離婁(傳說中目力非常強的人)之明，公輸子(即魯班，傳說木匠的祖師)之巧，不以規矩，不能成方圓.”可見，在春秋戰國時期，規矩已被廣泛地用於作圖、製作器具了。由於我國古代的矩上已有刻度，因此使用範圍較廣，具有較大的實用性。

古代希臘人較重視規、矩在數學中訓練思維和智力的作用，而忽視規矩的實用價值。因此，在作圖中對規、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺規作圖問題。所謂尺規作圖，就是只有限次地使用沒有刻度的直尺和圓規進行作圖.

古希臘的安那薩哥拉斯首先提出作圖要有尺寸限制。他因政治上的糾葛，被關進監獄，並被判處死刑。在監獄里，他思考改圓成方以及其他有關問題，用來打發令人苦惱的無所事事的生活。他不可能有規範的作圖工具，只能用一根繩子畫圓，用隨便找來的破木棍作直尺，當然這些尺子上不可能有刻度。另外，對他來說，時間是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺規解決問題。後來以理論形式具體明確這個規定的是歐幾里德的《幾何原本》。

由於《幾何原本》的巨大影響，希臘人所崇尚的尺規作圖也一直被遵守併流傳下來。

由於對尺規作圖的限制，使得一些貌似簡單的幾何作圖問題無法解決。最著名的是被稱為幾何三大問題的三個古希臘古典作圖難題：立方倍積問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。當時很多有名的希臘數學家，都曾著力於研究這三大問題，雖然藉助於其他工具或曲線，這三大難題都可以解決，但由於尺規作圖的限制，卻一直未能如願以償。以後兩千年來，無數數學家為之絞盡腦汁，都以失敗而告終。直到1637年笛卡爾創立了解析幾何，關於尺規作圖的可能性問題才有了準則。到了1837年萬芝爾首先證明立方倍積問題和三等分任意角問題都屬於尺規作圖不可能問題.1882年林德曼證明了π是超越數，化圓為方問題不可能用尺規作圖解決，這才結束了歷時兩千年的數學難題公案。

從坐標系觀點看，所有的點和線都可以用坐標、方程的參量來代替，尺規作圖能夠完成兩根線段的和差積商，因此可做圖的數成為一個域。

直線和圓都是二次方程，稍微細緻的討論可知，尺規作圖能夠完成開平方，也就是域的二次擴張。

因此，如果已知量與有理數生成的數域為,量可以尺規作圖的充要條件是，存在域塔：

其中相鄰的域擴張都是二次的。

即除了四則運算之外，只用到開平方的，可以尺規作圖。

但如果是開立方之類的情況，除了完全立方之類的特殊情況，一般不能尺規作圖。

當然，開四次方八次方，可以連續開平方，所以也是可以尺規作圖的。

幾何三大問題如果不限制作圖工具，便很容易解決。從歷史上看，好些數學結果是為解決三大問題而得出的副產品，特別是開創了對圓錐曲線的研究，發現了一批著名的曲線等等。不僅如此，三大問題還和近代的方程論、群論等數學分支發生了關係。