巴拿赫不動點定理

巴拿赫不動點這個定理是以斯特凡·巴拿赫(1892–1945)命名的，他在1922年提出了這個定理。

設為非空的完備度量空間。設為X上的一個壓縮映射，也就是說，存在一個非負的實數，使得對於所有X內的x和y，都有：

那麼映射T在X內有且只有一個不動點（這就是說，）。更進一步，這個不動點可以用以下的方法來求出：從X內的任意一個元素開始，並定義一個迭代序列，對於。這個序列收斂，且極限為。以下的不等式描述了收斂的速率：

等價地：

且

滿足以上不等式的最小的q有時稱為利普希茨常數。

注意對於所有不同的x和y都有的要求，一般來說是不足以保證不動點的存在的，例如映射，就沒有不動點。但是，如果空間X是緊的，則這個較弱的假設也能保證不動點的存在。

當實際應用這個定理時，最艱難的部分通常是恰當地定義X，使得T實際上把元素從X映射到X，也就是說，Tx總是X的一個元素。

選擇任何。對於每一個，定義。我們聲稱對於所有的，以下等式都成立：

我們用數學歸納法來證明。對於n=1的情況，命題是成立的，這是因為：

假設命題對於某個是成立的。那麼，我們有：

從第三行到第四行，我們用到了歸納假設。根據數學歸納法原理，對於所有的，以上的命題都成立。

設。由於，我們便可以找出一個較大的，使得：

利用以上的命題，我們便有對於任何以及，都有：

第一行的不等式可以從三角不等式推出；第四行的級數是一個幾何級數，其中，因此它收斂。以上表明是內的一個柯西序列，所以根據完備性，它是收斂的。因此設。我們作出兩個聲明：第一，是T的一個不動點，也就是說，；第二，是T在中的唯一的不動點。

為了證明第一個命題，我們注意到對於任何的，都有：

由於當時，，因此根據夾擠定理，可知。這表明當時，。但當時，，且極限是唯一的；因此，一定是的情況。

為了證明第二個命題，我們假設y也滿足Ty = y。那麼：

由於，因此上式意味著，這表明，於是根據正定性，，定理得證。

巴拿赫不動點定理有許多逆定理，以下的一個是Czesław Bessaga在1959年發現的：

設為一個抽象集合的映射，使得每一個迭代都有一個唯一的不動點。設q為一個實數，。那麼存在X上的一個完備度量，使得f是壓縮映射，且q是壓縮常數。