集合運算

集合運算是實體造型系統中非常重要的模塊，也是一種非常有效的構造形體的方法。從一維幾何元素到三維幾何元素，人們針對不同的情況和應用要求，提出了不少集合運算演演算法。

在早期的造型系統中，處理的對象是正則形體，因此定義了正則形體集合運算，來保證正則形體在集合運算下是封閉的。在非正則形體造型中，參與集合運算的形體可以是體、面、邊、點，運算的結果也是這些形體，這就要求集合運算演演算法中能統一處理這些不同維數的形體，因此需要引入非正則形體運算。

1、正則集與正則集合運算運算元

Tilove根據點集拓撲學的原理，給出了正則集的定義。認為正則的幾何形體是由其內部點的閉包構成，即由內部點和邊界兩部分組成。對於幾何造型中的形體，規定正則形體是三維歐氏空間中的正則集合，因此可以將正則幾何形體描述如下：

設G是三維歐氏空間R3中的一個有界區域，且G=bG∪iG，其中bG是G的n－1維邊界，iG是G的內部。G的補空間cG稱為G的外部，此時正則形體G需滿足：

1)bG將iG和cG分為兩個互不連通的子空間；

2)bG中的任意一點可以使iG和bG連通；

3)bG中任一點存在切平面，其法矢指向cG子空間

4)bG是二維流形。

對於正則形體集合，可以定義正則集合運算元。設是集合運算運算元（交、並或差），如果R3中任意兩個正則形體A、B作集合運算：

R=AB

運算結果R仍是R3中的正則形體，則稱為正則集合運算元，正則並、正則交、正則差分別記為∪*，∩*、-*。

幾何造型中的集合運算實質上是對集合中的成員進行分類的問題，Tilove給出了集合成員分類問題的定義及判定方法。

Tilove對分類問題的定義為：設S為待分類元素組成的集合，G為一正則集合，則S相對於G的成員分類函數為：

C(S,G)={S in G，S out G，S on G}， （3-2-1）

其中，

S in G=S∩iG，

S out G=S∩cG，

S on G=S∩bG，

如果S是形體的表面，G是一正則形體，則定義S相對於G的分類函數時，需考慮S的法向量。記-S為S的反向面。形體表面S上一點P相對於外側的法向量為NP(S)，相反方向的法向量為- NP(S)，則（3-2-1）式中S on G可分為兩種情況：

S on G ={S shared(bG)，S shared(-bG)}，

其中，

S shared(bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=NP(bG)},

S shared(-bG)={P|P∈S，P∈bG，NP(S)=-NP(bG)}。

於是，S相對於G的分類函數C(S,G)可寫為：

C(S,G)={S in G，S out G，S shared(bG)，S shared(-bG)}。

由此，正則集合運算定義的形體邊界可表達為：

b(A∪B)={bA out B，bB out A，bA shared(bB)}，

b(A∩B)={bA in B，bB in A，bA shared(bB)}，

b(A-B)={bA out B，-(bB in A)，bA shared(-bB)}。

3．集合運算演演算法

正則集合運算與非正則形體運算的區別在於增加了正則化處理步驟。下面，我們給出一個非正則形體的集合運算演演算法。

假定參與集合運算的形體為A和B，運算的結果形體C=AB，其中集合運算符為通常的集合運算並、交、差（È 、Ç 、- ）。

對於一個非正則形體L，可以將其分解為L=L3ÈL2ÈL1ÈL0，其中L3為R3中的正則閉集之並，存在面表、邊表、點表等拓撲元素。L2是懸面集，存在邊表和點表。L1是懸邊集，只有端點。L0是孤立點集。

集合運算整個演演算法包括了以下幾部分：

(1)求交：參與運算的一個形體的各拓撲元素求交，求交的順序採用低維元素向高維元素進行。用求交結果產生的新元素（維數低於參與求交的元素）對求交元素進行劃分，形成一些子元素。這種經過求交步驟之後，每一形體產生的子拓撲元素的整體相對於另一形體有外部、內部、邊界上的分類關係。

2)成環：由求交得到的交線將原形體的面進行分割，形成一些新的面環。再加上原形體的懸邊、懸點經求交后得到的各子拓撲元素，形成一拓撲元素生成集。

(3)分類：對形成的拓撲元素生成集中的每一拓撲元素，取其上的一個代表點，根據點/體分類的原則，決定該點相對於另一形體的位置關係，同時考慮該點代表的拓撲元素的類型（即其維數），來決定該拓撲元素相對於另一形體的分類關係。

(4)取捨：根據拓撲元素的類型及其相對另一形體的分類關係，按照集合運算的運算符要求，要決定拓撲元素是保留還是捨去；保留的拓撲元素形成一個保留集。

(5)合併：對保留集中同類型可合併的拓撲元素進行合併，包括面環的合併和邊的合併。

(6)拼接：以拓撲元素的共享邊界作為其連接標誌，按照從高維到低維的順序，收集分類后保留的拓撲元素，形成結果形體的邊界表示數據結構。

主條目：並集

兩個集合可以相"加"。A和B的並集是將A和B的元素放到一起構成的新集合。

定義

給定集合A，B，定義運算∪如下：A∪B稱為A和B的並集。

示例

● {1, 2}∪{紅色, 白色} = {1, 2, 紅色, 白色}{1, 2, 綠色}∪{紅色, 白色, 綠色} = {1, 2, 紅色, 白色, 綠色}{1, 2}∪{1, 2} = {1, 2}

基本性質

作為集合間的二元運算，∪運算具有以下性質。

交換律：

結合律：

冪等律：

幺元： （是∪運算的幺元）。

主條目：交集

一個新的集合也可以通過兩個集合"共"有的元素來構造。A和B的交集，寫作A∩B，是既屬於A的、又屬於B的所有元素組成的集合。

若，則A和B稱作不相交。

定義

給定集合A，B，定義運算∩如下：

稱為A和B的交集。

基本性質

作為集合間的二元運算，∩運算具有以下性質。

● 交換律：

● 結合律：

● 冪等律：

空集合：（是∩運算的空集合）。

其它性質還有：

●

示例

{1, 2}∩{紅色, 白色} =

{1, 2, 綠色}∩{紅色, 白色, 綠色} = {綠色}

{1, 2}∩{1, 2} = {1, 2}

主條目：差集

兩個集合也可以相"減"。A在B中的相對補集，寫作B−A，是屬於B的、但不屬於A的所有元素組成的集合。

在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集U的子集。這樣，U−A稱作A的絕對補集，或簡稱補集（余集），寫作A′或CUA。

補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。

定義

給定集合A，B，定義運算-如下：

A-B稱為B對於A的差集，相對補集或相對余集。

在上下文確定了全集U時，對於U的某個子集A，一般稱U - A為A（對於U）的補集或余集，通常記為或，也有記為的。

基本性質

作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質：

右幺元：∀集合A， ( 是 - 運算的右幺元）。

左零元：∀集合A， (是 - 運算的左零元）。

示例

{1, 2}−{紅色, 白色} = {1, 2}

{1, 2, 綠色}−{紅色, 白色, 綠色} = {1, 2}

{1, 2}−{1, 2} =

若U是整數集，則奇數的補集是偶數

主條目：對稱差

定義

給定集合A，B，定義對稱差運算△如下：基本性質

作為集合間的二元運算，△運算具有如下基本性質：

交換律：

結合律：

幺元： （是△運算的幺元）。

逆元：