虛時間

在廣義相對論中，由於時間和空間在公式中表達的方式，使實際談論時間的創生成為可能。麻煩的是，在經典理論中，當空間和時間“開始形成”時，實在的點本身是數學中的奇點，數學失效了，所以它不能給你一個創生論。你在傳統的宇宙論中所能說的是，存在許多不同的可能宇宙，它們所有都和愛因斯坦方程式相符合。我們恰巧在這個宇宙中生活的事實，毋寧說純粹是出於偶然。你不能賦予任 何理由——甚至在原則上也不能。你所能說的一切是條件陳述：假定宇宙在這一時刻處在這個狀態，則它在以後的時刻將處於那個狀態。它是條件性類型的演化。

然而，當你談到虛時間，就有一個奇怪的可能性，也就是“現在”不一定要有一連串的過去時刻。如果我們從現在這一時刻往過去回溯，在很長的時間內一切都完全正常地進行，甚至在虛時間中也是如此。只要你使用這個唯象的時間，看起來就像你在通常時間裡回溯過去。

但是隨著你往以前退去，越來越接近傳統的實時間圖像中變成原點之處，你就發現時間的性質在改變，復的或虛的變得越來越有份量。最後，在經典理論中應該是奇點的東西被抹平了，你就得到這張漂亮的圖畫，這些碗狀的宇宙創生圖像。那裡沒有起點，只是某種光滑的形狀。

虛時間中的詞“虛”不是指想象：它是指數學中非常古老的觀念。對於一位給定的觀察者，空間和時間當然是可區分的：我們用尺來測量空間，用鐘錶測量時間。愛因斯坦和赫爾曼·閔可夫斯基在上世紀初指出，不同的觀察者的空間和時間概念，只不過是同一個統一的空間——時間觀念的不同方面。空間——時間是四維空間幾何，它有某些類空間的方向和某些類時間的方向。所以就一定意義上來講，在那裡空間和時間概念仍是可以區分的。

哈特爾和 霍金所發現的是：如果你假設，宇宙在虛時間裡的過去歷史圖像是所有可能的、恰好和我們現在時刻宇宙相符的這類形狀，而你多多少少用傳統量子力學方式來解釋之，至少在原則上你會得到整個宇宙唯一的波函數。

這樣，你就得到了這個沒有過去的美妙圖畫，宇宙根本不從任何東西產生出來。因為它是一個自洽的數學結構，所有你真正能說的是宇宙存在。和從某點創生宇宙的圖景不一樣，這宇宙沒有過去，因為沒有任何它在其中創生的東西。

如此，宇宙從“無”中創生的說法，實際上有一點用詞不當；這是辭彙“無”的誤用。它不只是指在空虛的空間中出現宇宙，你也許可以把這空間稱為“無”：因為甚至連創生事件也不存在，所以根本不存在任何東西！

在這些理論中，動詞過去時態的使用變成不恰當。當然，在人們相信實時間時就建立了時態。不幸的是，我們還沒有在虛時間中表示時態的語言形式。因此，在這層意義上，說“從無中創生”肯定是誤導的。它對於這個在預先存在的時間中忽然出現的宇宙圖像很合適，可是它並不是哈特爾——霍金態的貼切描述。

為了預言宇宙是如何起始的，人們需要在時間開端處也能成立的定律。在實時間內只存在兩種可能性：或者時間往過去回溯直至無窮，或者時間在一個奇點處有一個開端。人們可以把實時間認為是從大爆炸起到大擠壓止的一根直線。但是，人們還可以考慮和實時間成直角的另一個時間方向。這叫做時間的虛方向。在時間的虛方向，不必要任何形成宇宙開端或終結的奇點。

在虛時間裡，沒有科學定律在該處失效的奇點，也沒有人們需要在該處乞求上帝的宇宙邊緣。宇宙既不創生也不毀滅結束。它就是存在。

也許虛時間才真正是真實的時間，而我們稱為實時間的僅是我們的想象。宇宙在實時間裡各有一個開端和終結。可是在虛時間裡，不存在奇點或邊界。因此，也許我們稱為的虛時間是真正更基本的，而我們叫做實時間的，只不過是我們發明的觀念，用來幫助自己描述我們認為的宇宙的樣子。

許多人相信，上帝允許宇宙按照一套定律來演化，上帝並不干涉演化的過程促使宇宙觸犯這些定律。然而，仍然需要靠上帝去卷緊發條並選擇如何去啟動它。只要宇宙有一個開端，我們就可以設想有一位造物主。但是，如果宇宙確實是完全自足的，那還會有造物主的存身之處嗎？

宇宙如何終結存在兩種基本理論。一種是開放宇宙的觀念，它會繼續演化，不會突然終止；事情僅僅是緩慢下來，並且按照熱力學第二定律到達熱死。另外一種是閉合宇宙的觀念，它會停止膨脹，而且會向自身坍縮回來，這有時被稱作大擠壓，像是大爆炸，只不過在時間上顛倒過來就是了。

儘管那種觀念具有巨大威力，在統一這些概念方面仍然可以走得更遠些。如果你用虛數來測量時間方向，那你就得到了空間和時間之間的完全對稱，這在數學上是非常美妙和自然的觀念。無邊界設想就是利用這個數學的單純化，導致所有可能的宇宙的初始條件中的最簡單的理論。

但是，人們不應認為日常經驗中可以直接體驗到虛時間。它是一種用來表達物理方程式的美麗的數學觀念，同時在此情形下，它是一個解釋宇宙初始狀況的特殊設想。

霍金的奇性定理指出，愛因斯坦的廣義相對論和一定的觀測相結合，意味著宇宙在開端處必須有一個奇點。如果你向時間過去回溯，到達某一點就不能再過去了。我們通常將此視為時間的起點。

這擾亂了許多假定宇宙為無限古老的人。霍金的思想指出宇宙有一個開端，有人覺得，這符合創世紀所描述的宇宙在時間中創生；雖然其他神學家說，上帝創世並不見得就發生在我們的時間裡。

上帝也許可以創生一個無限宇宙，但是霍金的思想隱含著時間有一個開端。我們當然知道，愛因斯坦理論在非常接近於那個開端處不能成立。所以我們知道，該理論本身在那裡失效。那就引起了這樣的可能性：即也許宇宙是無限古老的，或者也許是別的什麼樣子的。

許多人連霍金都覺得時間概念本身在接近開端處失效，因此談論開端之前是什麼並沒有意義：在此之前是否有無限的時間呢？還是只有有限的時間？宇宙是否有一個時間上的絕對開端呢？由於時間觀念本身在這些極早的時刻並沒有多少意義，所以那些問題有些是沒有什麼意義的。我們能肯定的是，就我們所知，時間有一個開端，可是這開端有一個點，一旦超過那一點，我們標準的時間概念就失效。

在哈特爾——霍金的無邊界設想中，宇宙開端的方式是：時間的行為非常滑稽：在技術意義上時間是虛的。這樣時間沒有邊緣，你似乎有一個地球的表面。譬如說你從北極出發，沿著經線往外走。這些經線的確從北極散開，北極是完全規則的。

這就是霍金的宇宙圖像：這個虛時間既沒有開端也沒有終結。它沒有必要永遠前進。它是有限的，如同地球只有有限的面積一樣。在地球上不可能永遠繼續向北走下去。由於你可以走到最北的一點，在某種意義上，你會走到盡頭。但在另一種意義上，在那裡並沒有真正的終點。

因此，霍金說，宇宙在開端處沒有邊界，所以宇宙是一個自足的整體。他還論斷道，上帝實在沒有必要去啟動宇宙：宇宙能夠自身存在那裡，不需要上帝去創造它。

還會有造物主的存身之處嗎？上帝是否創造宇宙的問題和宇宙是否有邊緣並沒有直接關聯，儘管許多人認為是相關的。它們實際上是不怎麼相干的。

例如，我在一張紙上畫了兩條線。這條直線有兩個端點：如果我想象時間以那種方式前進的話，則你可把這一個端點稱為起點，那一個端點稱為終點。如果時間沿相反方向前進，則情況就變相反，這一個端點稱為終點，那一個端點稱為起點。你可將此當成宇宙的一個模型，一個具有開端和終結的宇宙。

這個圓圈表示另一個宇宙。當時間前進時，在某種意義上存在一個最早的時刻；可是如果你沿著這圓圈的線，該線沒有終點，它只是不斷圍繞著。

但是，我自己畫了這些線，所以在某種意義上而言，我創造了它們。但是它們是否有開端或終結，對我是否創造了它們的問題毫無影響。

我認為宇宙的情形是類似的。在霍金的舊模型中，宇宙具有一個開端，也許還有一個終結。新模型更像這沒有開端和終結的圓圈。在某種意義上它有個最左的端點；這樣你能說有某種像是最早時刻和最晚時刻的東西。但是，就更技術性的意義來說，既不存在開端也不存在終結。而且這兩種都可以由上帝來創造。我們必須先有信仰，才能問它是否由上帝創造的問題。這是科學既不能證實也不能證偽的事體。

我想，霍金在他的書中小心避免公開直截了當地說沒有上帝。

虛時間是一具很難掌握的概念，它可能是我的書的讀者覺得最困難的東西。我還由於使用虛時間而受到哲學家們猛烈的批評。虛時間和實在的宇宙怎麼會相干呢？我以為這些哲學家沒有從歷史吸取教訓。人們曾經一度認為地球是平坦的以及太陽繞著地球轉動，然而從哥白尼和伽利略時代開始，我們就得調整適應這種觀念，即地球是圓形的而且它繞著太陽公轉。類似的，長期以來對於每位觀測者時間以相同速率流逝似乎是顯而易見的，但是從愛因斯坦時代開始，我們就得接受，對於不同的觀測者時間流逝的速率不同。此外，宇宙具有唯一的歷史似乎是顯然的，但是從發現量子力學起，我們就必須把宇宙考慮成具有任何可能的歷史。我要提出，虛時間的觀念也將是我們必須接受的某種東西。它和相信世界是圓的是同等程度的一個智慧的飛躍。在有教養的世界中平坦地球的信仰者已是鳳毛麟角。

你可以把通常的實的時間當成一根從左至右的水平線。左邊代表早先，右邊代表以後。但是你還可以考慮時間的另一個方向，也就是書頁的上方和下方。這就是時間的所謂的庶的方向，它和實時間夾直角。

引入虛時間的緣由是什麼呢？人們為什麼不只拘泥於我們理解的通常的實時間呢？正如早先所提到的，其原因是物質和能量要使時空向其自身彎曲。在實時間方向，這就不可避免地導致奇性。時空在這裡到達盡頭。物理學方程在奇點處無法定義，這樣人們就不能預言會發生什麼。但是虛時間方向和實時間成直角。這表明它的行為和在空間中運動的三個方向相類似。宇宙中特質引起的時空曲率就使三個空間方向和這個虛的時間方向繞到後面再相遇到一起。它們會有任何可以叫做開端或者終結的點，正和地球的表面沒有開端或者終結一樣。

1983年詹姆·哈特爾和我提出，對於宇宙不能取在實時間中的歷史求和，相反的，它應當取在虛時間內的歷史的求和，而且這些歷史，正如地球的表面那樣，自身必須是閉合的。因為這些歷史不具有任何奇性或者任何開端或終結，在它們中發生的什麼可完全由物理定律所確定。這表明在虛時間中發生的東西可被計算出來。而如果你知道宇宙在虛時間裡的歷史，你就能計算出它在實時間裡如何行為。以這種方法，你可望得到一個完整的統一理論，它能預言宇宙中的一切。愛因斯坦把他的晚年獻身於尋求這樣的一種理論。因為他不相信量子力學，所以他沒有尋找到。他不準備承認宇宙可以有許多不同的歷史，正如在對歷史求和中的那樣。對於宇宙我們仍然不知道如何正確地對歷史求和，但是我們能夠相當肯定，它將牽涉到虛時間以及時空向自身閉合的思想。我認為，對於下一代的人而言，這些思想將會像世界是圓形的那麼自然。虛時間已經成為科學幻想的老生常談。但是它不僅是科學幻想或者數學技巧。它是某種使我們生活於其中的宇宙成形的某種東西。

1974年，年僅32歲的斯蒂芬·霍金發表了黑洞蒸發理論，其實早在1970年28歲時，他就曾經提出過膨脹宇宙的奇點定理：在宇宙1970的初創期不可避免地存在著奇點。

前文講過，在通常黑洞的中心存在著奇點，在旋轉黑洞的赤道上存在著環狀的奇點。在介紹黑洞、大爆炸、大塌縮的讀物里，‘奇點’這個陌生的名詞頻頻出現。既彆扭又難懂，難道就找不到其它的表達方法嗎？讀者們大概都有這樣的抱怨。

但是，我們只能原樣照搬地使用這個數學名詞。所謂奇點，淺顯易懂地說（也許筆者的解釋並不淺顯易懂），是一個非常奇特的點（這個點應該是無限小的），它存在於黑洞中以及大爆炸的起始點、大塌縮的終結點。

前面講過，在數學上當分數的分子為有限值，而分母變成零時，或者三角函數里的正切函數tanx當x成為90度時的值都是無窮大。當x從89度開始漸漸接近90度時，tanx的值就無限地接近正無窮大；反過來當x從91度開始一點點地變小接近90度時，函數值將無限地接近負無窮大；當x正好是90度時，函數值（的絕對值）為無限大，無法判定其正負。數學上的奇點就是如此奇妙的點。

雖然簡單地使用了無窮大，但是筆者個人認為這樣的數在物理學里是不存在的……人們為了進行加減乘除開平方等各種數學計算，引入了分數、無理數、負數等等，但是無論什麼數都不許被零除，在每一所學校里教師都這樣嚴格地教導學生。無窮大隻是嘴上說說而已，實際中從不使用。比如：我們說宇宙的大小為150億 光年，儘管極為廣闊，但絕不是無窮大。

筆者認為，把數學套用到物理的現實世界時，所謂無窮大的數只是不得已而暴露出的不真實的數值。儘管是不真實的數值，如果它能夠給我們帶來方便的話，用之也無妨。

下面舉個簡單的例子。在物理問題中經常出現‘有個質量為m的點’之類的用詞，質點是為了把力學問題簡化而設想的非現實的點狀物體，常有腦子好用且愛鑽牛角尖的學生提出‘那個質點的密度是多大？’的問題，令教師為難，最合適的回答也許是‘不考慮 質點的密度’。事實上正是因為所處理的問題不涉及密度，我們才放心地把‘質點’的概念引入力學之中。

在物理學里，對於（認真去分析的話）很奇怪的概念，只要我們不是直接地研究它，通常都採取默認的態度，這樣的事例很多。當其影響不可避免時，則重新修正我們的思考方式。質點是力學中的約定俗成的概念。當我們分析發生在時空中的電子-光子相互作用時，也會出現剛才說過的無窮大的困難，該困難至今仍未得到完美的解決（或理解）。

接下來我們要討論的問題是霍金等人指出的宇宙的奇點。對於不帶自轉的黑洞來說，視界或者說史瓦西半徑以內的任何物質（包括光）都不可能跑出來，它們都落向中心點。黑洞大概是密度極高的球狀物體……我們很願意這樣去想像，但它也可能是由中子星進一步縮聚而成，仍然保持著天體的形狀。總之，黑洞的形狀無人知曉。

原因在於，誰也無法知道黑洞之中究竟是什麼狀態。從它的外面來想像，我們只知道中心的引力值是無窮大，所以不妨認為黑洞內部的質量全部集中在中心點上。由於引力強的地方空間彎曲得也厲害，隨著接近中心，彎曲程度也愈來愈激烈。假如在不帶自轉的正球形黑洞里，空間將一下子靠向中央（那裡的情景很難打比方，也很難想像），並且急劇地彎曲起來。在任何曲線的任何部位上，只要取無限短的一小段，都可以將其視為某個圓弧的一部分，圓的半徑越小，曲線在該處的彎曲程度就越大。我們乘火車時，在轉彎處的鐵路旁邊經常能夠看到標有轉彎半徑的標記，列車的設計時速越高，所要求的最小轉彎半徑就越大。我們將半徑的倒數（1除以半徑）叫做曲率，曲率越大，曲線越彎曲。

新買來的蚊香是由二根盤成一片的，二根都從外緣盤向中心，由外向內，曲率越來越大。不過蚊香比較粗，如果是一根細線緊密地盤向中心點的話，在終點處曲率的理論值將成為無窮大，在到達終點前需要繞無數圈。重要的是，在黑洞的中心引力為無窮大，空間曲率（誰也無法想像三維空間如何彎曲）也是無窮大，因此該點被稱為奇點。奇點是作為數學上的極限被提出來的，在現實世界里那樣的東西是否存在呢？如果數學計算的結果令我們不得不承認黑洞的中心是奇點的話，落入黑洞中的物質在到達奇點之前或許經過蛀洞從另一側的白洞飛了出來……這種解釋也許能成立吧。

彭羅斯與霍金起先也認為宇宙起始於奇點、終止於奇點，從現在的宇宙向過去追溯的話，總會到達‘再沒有以前’的一點——奇點，後退的終點也就是宇宙時間的起點，在該點上，質量為無窮大、彎曲為無窮大、其它的 基本物理量都是無窮大，令物理學家們無從下手。宇宙似乎確實存在著起點，但是，宇宙是怎麼開始的？在開始之前是什麼樣子？一切都籠罩在迷霧之中。

這些奇怪的概念都是愛因斯坦的廣義相對論的必然推論，使人感到很無奈。但是，霍金並沒有因此放棄努力，他把量子理論用到路徑積分里發展了原來的路徑積分方法，提出了‘無境界’宇宙模型。霍金勇敢地否定了自己以前提出的奇點定理，找出了迴避奇點這個數學疑難的方法。

不過，無境界宇宙也不是個一提就懂的概念。雖然時空不可分割，為了便於理解，這裡只考慮時間，所謂無境界就是沒有任何斷頭的意思，霍金的結論用另一種說法來說就是：任何時候都存在時間，即使在大爆炸之前或大塌縮之後也不例外。

霍金的宇宙模型是個象地球一樣的球形，球的表面代表宇宙空間，北極點對應於大爆炸。宇宙從北極點開始，球的緯度對應於宇宙的大小，隨著時間的推移，宇宙逐漸沿北緯80度圈、70度圈、60度圈……的方向擴大，現在是宇宙誕生后大約150億年，大致相當於北緯40度附近，再過100億年左右宇宙將膨脹到最大狀態——赤道上，然後轉入收縮，進入地球模型上的南半球，最後是大塌縮，即模型上的南極點。

用地球來打比方是為了便於大家理解，重要的是：不把北極點和南極點當作特殊的點。的確，從幾何學的角度看，極點與表面的其它部分完全相同。當然，地球的南、北極是自轉的軸，按照緯度的定義，它們分別對應於南、北90度。霍金的宇宙模型里的南北極沒有任何特殊的構造。

霍金與哈特爾一起消除了大爆炸和大塌縮的宇宙奇點，用地球來比喻他們的模型再恰當不過了，無論是在北極還是在南極都不存在無窮大或者其它的特殊因素。

如果將宇宙比作地球的話，最初的大爆炸就相當於北極點，請讀者容忍一下接受這個說法。霍金在使用路徑積分法的同時把時間虛數化（關於虛數我們將在下一小節詳細介紹），從而化解了時間的境界。各位一定會問，這到底是怎麼回事？用地球作比喻的話，大爆炸以前的宇宙對應於哪個部位呢？難道存在比北極點更‘北’的地方嗎？

答案是，用路徑積分法確實能夠使時間的境界消失，由於大爆炸以前的時間是個虛數，所以無法用圖或模型來表示。這裡又冒出來一個叫做虛數的討厭的數學概念，使用數學武器求解物理問題時，難免會陷入這樣的窘境。不管怎樣，按霍金的辦法去做的話，就會出現‘過去存在過虛時間’這樣的事情，如果我們把過去看成虛時間的話，就可以不帶奇點地‘平坦地’解釋宇宙的初始與終結。

筆者絕對沒有抬出虛數為難大家的意思，不過，在繼續我們的話題之前有必要介紹一下虛數的概念以及它‘在實際問題中所代表的含義’。

在經典物理學里，實數就是一切（雖然為了方便有時也使用虛數），但是在量子力學里情況就複雜多了。

例如，在氫原子里有一個電子，按照 玻爾的舊量子論，電子是繞原子核公轉的粒子，即，電子是個顆粒，它圍繞著原子核旋轉。經典力學的模型不難理解。

但是創立於上世紀20年代的新 量子力學指出，應該把電子理解成是聚集於原子核周圍的雲團，電子不是一個顆粒，而是一團雲。為了用數學公式描述這團雲，就得使用複數，電子以及其它的微觀對象都屬於複數範疇，金屬中的自由電子以及封閉箱子里的氣體分子的狀態原則上都要用複數來記述。因此，虛數已經大量地介入到了物理學之中。

虛數不是個不明不白的數嗎？用它記述的對象是什麼東西呢？量子力學認為粒子具有波的性質，數學上用波函數描述波的狀態，然而波函數是個複數。

所謂複數波是什麼樣的波呢？無人能夠畫出它的圖象。波函數描述的是對象物（原子或電子）的狀態，而不是眼睛所看見的影象。人眼所能看到的是熒屏上出現的波紋狀的痕迹——它對應於物體的能量的大小及變化。

波函數的確表示了粒子的存在位置，不過我們計算空間中粒子的存在概率時必須把複數平方（正確的說法是，複變函數與它的共軛函數相乘）後轉變成實數才行。計算某個波函數所表示的粒子的能量時，我們通過求解 量子力學的公式得出的是實數的能量值（在量子力學中稱為本徵值）。

這段文字或許令您費解，讓我們再複述一遍其中的要點。用於描述粒子狀態的波函數是由實數與虛數的和構成的複數，通過對式子進行變換一定能得出實數值，這種方法就是 量子力學，我們把用量子力學公式求出的所謂各物理量的理論值與實驗測量值相對比進行各種分析，雖然人無法看見複數所表示的東西，但是這樣做並不矛盾。

量子力學真是妙不可言，測量數值是實數，而誰也看不到的狀態卻用奇妙的複數來表述。

那麼，是不是可以認為複數所表述的狀態是真實的存在呢？

例如，某個電子的狀態用複數來記述，求解它的能量時，使用量子力學公式來計算得出了實數值，沒有問題。結果沒有問題能否說明其餘一切也都沒有問題呢？愛窮根究理的人（或形而上地研究問題的人）一定會拘泥於這樣的困惑。

電子在被觀測到之前，它的能量大小及存在位置均為不明，雲一樣存在的電子真的是個複數的東西呢？還是，因為我們對觀測之前的事情一無所知，為了方便起見才使用了數學家創造的複數呢？電子的實體就是虛數呢？還是，虛數根本沒有實體，使用虛數只不過是為了能夠順利地進行以後的各種計算呢？

一場哲學爭論好象開始了，關鍵的是，無論持哪一種觀點都不會給以後的研究帶來妨礙。物理學家們好象並不願意過分深入地探討這些純哲學的問題。如果一定要說清楚的話，以玻爾為首的哥本哈根學派似乎持有粒子本身就是複數的觀點，與此對立，對作為 量子力學基礎的‘不確定性’持反對意見的愛因斯坦等人則認為宇宙的根本是實數的東西，他們的真實思想，筆者無從知曉。總之，如果有一百位物理學家的話，大概就會有一百種對量子力學的解釋……