幾何不等式
幾何不等式
幾何問題中出現的不等式稱為幾何不等式。常常表現為角的大小，線段的長短，面積的多少等. 在幾何不等式的證明中，將綜合運用到我們所學的很多知識，但最首要的是要注意運用幾何中基本的不等關係和一些重要定理．證明不等式，視其論證過程中，以運用何種知識為主，大致分為三種方法：幾何方法；三角方法；代數方法。
證明幾何不等式的方法大致有三種：幾何方法，代數方法，三角方法。
幾何方法：通過一些變化或者平移旋轉來證明。
代數方法：也就是方程。
三角方法（函數法）：利用三角函數來證明。
Ptolemy（托勒密）不等式
若ABCD為四邊形，則。等號成立，A,B,C,D四點共圓
證明：
在任意四邊形ABCD中，作△ABE使，
因為
所以 ,即 (1)
又有比例式
而
所以相似.
即 (2)
(1)+(2),得
又因為
僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）
所以命題得證
Erdos（埃爾多斯）不等式
證明：
設P是ΔABC內任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為，記。則
證法二 因為P,E,A,F四點共圓，PA為直徑，則有:。
在ΔPEF中，據餘弦定理得:
，
所以有，即
(1)。
同理可得:
(2)，
(3)。
(1)+(2)+(3)得:
。命題成立。
Weitzenberk（外森比克）不等式
若a,b,c為三角形三邊長，S是三角形面積,
則：
等號成立當且僅當ABC為等邊三角形。
定理證明如下：由海倫公式，三角形面積可表示為：,其中
則：
由於三角形任意兩邊之和大於第三邊，所以根號里各項都是正數，
由均值不等式可得：
即：
整理得
證畢。
當且僅當且即三角形ABC為正三角形時取等。
Euler（歐拉）不等式
設△ABC外接圓與內切圓的半徑分別為R、r，則,當且僅當△ABC為正三角形時取等號。
證明：
由歐拉定理，,又,
所以,即.
當且僅當即內心與外心重合時取等。
此時三角形ABC為正三角形。
Fermat（費馬）問題
在△ABC中，使為最小的平面上的P點稱為費馬點。當每個內角均小於120時，則與三邊長角為120的P點為費馬點。
等周定理（等周不等式）
①周長一定的所有圖形中，圓的面積最大；面積一定的所有圖形中，圓的周長最小。
②周長一定的所有n邊形中，正n邊形的面積最大；面積一定的所有n邊形中，正n邊形的周長最小。