素理想
素理想
素理想對應著不可約的代數簇. 極大理想對應點。理想數上有算術基本定理，既可以唯一分解成素理想的乘積. 這裡的素理想當然就是推廣了整數環中的素數的概念. 理想理論後為戴德金所發展，現在已成為代數數論、交換代數等等理論的基礎內容之一。對於代數閉域 k（比如複數域）上的多項式環R=k[x_1,...x_n]，希爾伯特基定理指出：任何理想I總是由有限個多項式生成. 這些多項式定義了n維仿射空間k^n中的代數簇--即這些多項式方程組的零點集。
一個環 R中的理想P如果滿足以下條件就稱作素理想：對任何 如果乘積那麼a或b中至少有一個屬於P.
1.是整數環，我們知道R中任何理想都是主理想，即由一個整數d生成的理想(d). 換言之, 該理想是由d的全體倍數構成的集合. (d)是素理想當且僅當d是素數.
2. 是有理數域, R中的理想只有零理想和R本身。零理想顯然是素理想.
3.是域F上的多項式環--即係數取自F的多項式全體構成的集合, R中的素理想就是由不可約多項式生成的理想。
我們這裡只考慮含么的交換環R.
1. P是R的素理想當且僅當商環是整環.
2. P是R的極大理想當且僅當商環是域. 因此極大理想必是素理想.
3. R的零理想是素理想當且僅當R是整環.
素理想一詞最早可追溯到費馬最後的定理（也稱費馬大定理）的研究，即即證明著名的費馬方程
當時沒有非零整數解. 這一問題的研究首先被擴展到n次單位根擴域上--分圓域--來討論。人們試圖利用類似整數的算術基本定理來證明方程無解. 但遺憾的是, 分圓域上算術基本定理不一定成立。為了彌補這一缺陷, 庫莫引入了理想數的概念--即“理想”的雛形。理想數上有算術基本定理，既可以唯一分解成素理想的乘積. 這裡的素理想當然就是推廣了整數環中的素數的概念. 理想理論後為戴德金所發展，現在已成為代數數論、交換代數等等理論的基礎內容之一。
對於代數閉域 k（比如複數域）上的多項式環，希爾伯特基定理指出：任何理想I總是由有限個多項式生成. 這些多項式定義了n維仿射空間中的代數簇--即這些多項式方程組的零點集。代數幾何的基本結論表明, 在所有根理想的集族和所有代數簇的集族之間存在一一對應.
素理想對應著不可約的代數簇. 極大理想對應點。