複變函數與積分變換

本書主要介紹複數與複變函數、解析函數、復積分、解析函數的冪級數表示和洛朗展式、留數理論及其應用、傅氏變換、拉氏變換等內容，每章配有適量習題供讀者選用，書末附有習題參考答案．附錄中附有傅氏變換簡表和拉氏變換簡表，可供學習時查用．

本書適合於高等院校工科各專業，尤其可作為電子工程、通信、自動化、計算機、航空及測控等專業的教材，還可供工程技術人員和相關科技工作者閱讀參考．

賈雲濤，2006年4月碩士畢業於浙江大學數學系計算數學專業。現為北京理工大學珠海學院數理與土木工程學院數學教學部主任。作為副主編參與《微積分與數學模型》教材的編寫和《大學文科數學》教材的編寫。發表了多篇學術論文。

複變函數在自然科學及工程技術中都有廣泛的應用，例如工科中的電路理論，信息處理，信號與系統，通訊工程，工程力學，自動控制等專業課，所以“複變函數與積分變換”課程是理工科類大部分專業的必修課程，也是我校信息電子類相關專業的專業基礎課程。結合工程教育專業認證的標準，特別是近些年，隨著計算機軟體應用的推廣，各大高校的教學改革步伐在加快，課程設置優化，課程學時精簡，在有些高校的工科學生中稱其為“最難的數學課”，不及格率較高。為學生提供一本適合我們學生的複變函數與積分變換的教材十分必要。

第1章　預備知識 1

1.1複數與複變函數 1

1.1.1複數的基本概念 1

1.1.2複數的四則運算 1

1.1.3複平面、複數的模與輻角 3

1.1.4複數的三角表示 3

1.1.5平面曲線的實變數復值函數表示 4

1.1.6複變函數的概念 5

1.1.7複變函數的極限與連續性 5

1.2解析函數 6

1.2.1複變函數的導數 6

1.2.2解析函數的概念與求導法則 7

1.2.3解析函數的一個充分必要條件 8

1.3複變函數的積分 9

1.3.1復積分的定義與計算 9

1.3.2復積分的基本性質 11

1.3.3柯西積分定理 11

1.3.4柯西積分公式 13

本章小結 14

習題1 15

第2章　解析函數的級數表示 17

2.1複數項級數 17

2.1.1複數序列的極限 17

2.1.2複數項級數 17

2.2複變函數項級數 19

2.2.1複變函數項級數 19

2.2.2冪級數 20

2.3泰勒級數 23

2.4洛朗級數 26

本章小結 31

習題2 31

第3章　留數及其應用 33

3.1孤立奇點 33

3.1.1孤立奇點的分類 33

3.1.2函數的零點與極點的關係 36

3.2留數 38

3.2.1留數的概念及留數定理 38

3.2.2函數在極點的留數 41

3.3留數在定積分計算中的應用 43

3.3.1形如的積分 43

本章小結 45

習題3 46

第4章　傅里葉變換 47

4.1傅里葉變換的概念 47

4.1.1傅里葉級數 47

4.1.2傅氏積分與傅氏變換 50

4.2單位衝激函數(-函數) 54

4.2.1單位衝激函數的概念及其性質 54

4.2.2-函數的傅氏變換 56

4.3傅里葉變換的性質 57

4.3.1基本性質 57

4.3.2卷積與卷積定理 61

4.4綜合舉例 62

本章小結 66

習題4 66

第5章　拉普拉斯變換 68

5.1拉普拉斯變換的概念 68

5.1.1拉普拉斯變換的定義 68

5.1.2拉氏變換與傅氏變換的關係 70

5.2拉普拉斯變換的性質 71

5.2.1線性性質與尺度變換 71

5.2.2平移性質 72

5.2.3微分性質 73

5.2.4積分性質 75

5.2.5卷積與卷積定理 76

5.3拉普拉斯變換的應用 78

5.3.1留數方法計算拉氏逆變換 78

5.3.2求解常微分方程（組） 79

5.3.3求解積分方程 83

5.3.4求偏微分方程 84

5.3.5使用MATLAB求解拉氏變換 84

本章小結 85

習題5 86

附錄1　傅氏變換簡表 88

附錄2　拉氏變換簡表 91

部分習題參考答案 96

習題1 96

習題2 96

習題3 97

習題4 98

習題5 99

名詞索引 101

參考文獻 102