有限元素法

將結構用網格劃分為計算模型的一種結構分析數值方法。經過推廣發展，已成為解數學物理方程的一種近似方法。用經典結構力學進行飛行器強度計算時，需採用各種簡化和假設，把未知數的數量儘可能地減少。例如，力矩分配法能夠迭代計算含有幾個未知數的連續梁和構架，曾是一種較好的計算方法。但對於形狀、邊界條件、載荷條件複雜的結構，經典結構力學無法進行精確的計算分析。電子計算機問世后，從事飛行器結構分析的專家致力於尋求一種利用電子計算機進行結構分析的有效方法。1956年，美國波音飛機公司的M.J.脫納等人，為了分析后掠機翼研究出有限元素法。在飛行器結構分析中，無論是靜強度分析、動強度分析、疲勞與斷裂或熱強度分析，都離不開有限元素法。它已成為一種常規的分析方法。

在有限元素法中，用網格將結構劃分為若干小塊，這些小塊稱為有限元素，簡稱有限元。它們可以是三角形、四邊形、四面體、六面體或其他形狀，易於為計算機記錄和鑒別。然後採用分片的連續函數（通常是多項式函數）來描述各元素內的位移場或應力場，並通過每個元素邊界上事先規定的一組節點與周圍元素相連接，保證必要的連續條件。以節點的廣義位移為未知數的稱位移法，未知數為廣義應力的稱力法。兩者兼而有之的是混合法。此外，在元素內假設位移場（或應力場）、而在邊界上假設應力場（或位移場）的稱雜交法。然後應用變分原理得到代數方程組，不同形式的方程組代表不同的結構分析問題。再運用各種數值解法，即可求得所需的結果。例如，用有限元素法作靜力分析，能確定結構的位移和應力；作動力分析則能求出結構的振動頻率和模態等。有限元素法廣泛應用矩陣代數，既緊湊，又易於在電子計算機上組織計算，實現計算過程標準化，可編製通用的計算程序。

有限元素法已成功地用於“阿波羅”號登月飛船、波音 747旅客機等大型複雜的飛行器結構分析。除了線彈性問題外，它在彈塑性、穩定性、大變形、粘彈性、熱應力、蠕變、振動、動力響應、斷裂、疲勞裂紋擴展、溫度場、油箱晃動、雜訊響應和顫振分析等方面的應用都有很大的進展。特別是以有限元素法為基礎的結構分析系統，使分析工作具有很高的效率和可靠性。有限元素法能為新的飛行器設計提供大部分強度資料，為適航性考核和新機驗收提供依據。但對飛行器結構分析中許多複雜的非線性問題、瞬態問題、疲勞和斷裂、結構與其他介質相互作用等邊緣問題還有待進一步研究解決。

參考書目

馮康、石鍾慈著：《彈性結構的數學理論》，科學出版社，北京，1981。

O.C.Zienkiewiez,The Finite Element Method,3rd ed,McGraw-Hill,London,1977.

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