一元四次方程

一元四次方程必須滿足以下三個條件：

①是整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，且未知數在分母上，那麼這個方程就是分式方程，不是一元四次方程；方程中如果有根號，且未知數在根號內，那麼這個方程也不是一元四次方程，這點請注意！

②只含有一個未知數；

③未知數項的最高次數是4（即）。

註：如果方程滿足條件①，化簡后不滿足條件②和③，則該方程不是一元四次方程。

一般形式

ax+bx+cx+dx+e=0（a,b,c,d,e∈R，且a≠0）

通常人們也把它寫成四次項係數為1的形式：

x+bx+cx+dx+e=0（b,c,d,e∈R）

一般的一元四次方程可以通過 的代換消掉三次項，得到一個不含三次項的四次方程，然後用配平方法求解。

下面人們通過解一個具體的方程來說明不含三次項的一元四次方程的解法。（人們在學習一元一次方程，二元一次方程組和分式方程的時候也是先學具體的方程的解法，並沒有學習係數用字母表示的一般形式方程的解法。這裡為了通俗易懂就選了一個具體的四次方程來解）

解方程：

首先人們把x換成(x²+y)²，其中y是任取的。由於後者與前者相差2yx²+y²，需要在方程右邊加上2yx²+y²，等式才能成立，於是方程變為

移項，得

左邊已經是完全平方，現在需要正確選取y值，把右邊也配成完全平方

一個二次三項式ax²+bx+c能寫成完全平方的條件是△=b²-4ac=0。所以人們讓右邊的二次三項式的△=0，即

展開后得到

這是一個關於y的一元三次方程，利用三次方程的求根公式可以求得其中一個解為y=1（可以選擇方程三根中任何一個實數根）

代入原來的方程，得到

此時方程右邊也可以寫成完全平方的形式

兩邊同時開方，就可以得到兩個一元二次方程

總共有四個解

在上面的例子中，求出的三次方程的根y比較簡單，代入y的值後方程的右邊是x²-4x+4，很容易看出完全平方為(x-2)²。然而，絕大多數三次方程的根都是無理數。三次方程的根比二次方程複雜很多，二次方程的無理根能用單層根號精確表示，而要想精確表示一個三次方程的無理根，至少需要兩層根號。三次方程的根已經複雜到至少需要兩層根號才能精確表示，四次方程至少需要三層，而五次方程的根完全沒有辦法用根號表示。由於根的精確表達式極為複雜，用這樣的結果進行後面的代數運算會很麻煩，所以往往取近似值簡化運算。這就是人們通常所說的，高次方程的精確解無意義，因為表達式過於複雜，難以運算。

如果求出的y值帶有根號，或者只是一個近似值（解三次方程的時候直接列豎式筆算開平方和開立方，得到的是近似解），可以用下面的方法寫出完全平方。

已知△=b²-4ac=0，所以c=b²/4a，因此

這就是最終的完全平方形式。在上面的例子中，a=2y-1=1，b=-4，代入之後得到的就是(x-2)²。

解四次方程使用的配平方法和解二次方程使用的配方法有著細微的差別。解二次方程是通過加一個常數來配方，而解四次方程則是通過確定二次項係數和常數項中的參數y來配方。

方程兩邊同時除以最高次項的係數可得 (1)

移項可得 (2) 兩邊同時加上，可將（2）式左邊配成完全平方，

方程成為 (3)

在（3）式兩邊同時加上

可得

(4)

（4）式中的y是一個參數。當（4）式中的x為原方程的根時，不論y取什麼值，（4）式都應成立。

特別，如果所取的y值使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，則對（4）對兩邊同時開方可以得到次數較低的方程。為了使（4）式右邊關於x的二次三項式也能變成一個完全平方式，只需使它的判別式變成0，即 (5)

這是關於y的一元三次方程，可以通過塔塔利亞公式來求出y應取的實數值。

把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的兩邊都成為完全平方，兩邊開方，可以得到兩個關於x的一元二次方程。

解這兩個一元二次方程，就可以得出原方程的四個根。

費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在於：第一次配方得到（3）式后引進參數y，並再次配方把（3）式的左邊配成含有參數y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右邊也成為完全平方，從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程的求解問題。不幸的是，就象塔塔利亞發現的一元三次方程求根公式被誤稱為卡當公式一樣，費拉里發現的一元四次方程求解方法也曾被誤認為是波培拉發現的

一般的四次方程還可以待定係數法解，這種方法稱為笛卡爾法，由笛卡爾於1637年提出。

先將四次方程化為的形式。

令，整理后得到（1）

設

比較dy對應項係數，得

設，把t和m當作未知數，解前兩個方程，得，

再代入第三個方程，得。即

解這個方程，設k是它的任意一根，t和m是k=k時t和m的值那麼方程（1）就成為

解方程和就可以得出方程（1）的四個根，各根加上 就可以得出原方程的四個根。

費拉里法求解一元四次方程 的步驟如下

或（取模較大的數值）

（若 u 為零，則 v 也取值為零）

y有三種取值

上面兩個公式中， ，

將 分別代入，就能得到三組。請選擇 最大或 的一組作為 y，m 的數值。

若則一元四次方程有兩對重根，計算公式如下：

若 m 不等於零，則一元四次方程的求根公式如下：

算例1：

上式中，可算得

y 取 時，。這個 y 不合適，換一個再試試

y 取 時，可算得四個根為

算例2：即

上式中，可算得

y 有三重根，可算得 。

因此，一元四次方程有兩對重根，即

對費拉里計算方法整理后，即可得到一元四次方程 的求根公式

或（取模較大的數值）

（若 u 為零，則 v 也取值為零）

上面三個公式中的 k 可取值1，2，3，用來區別費拉里法中一元三次方程的三個根。請選擇最大的那組（m，S，T）。

如果的最大值仍為零，則 m，S，T 的數值按下面三個公式計算

一元四次方程的四個根為：

網站planetmath.org上列出了方程的求根公式

查看這個公式，需要非常的耐心和細心。將其分拆后，可以得到如下公式：

四個根為（n = 1,2,3,4）

可見，這個公式是“求根公式（費拉里法）”的一個特例。

這個公式不僅複雜，而且有很多問題：

1、當時 會計算失敗；

2、當時，求根計算會失敗。