皮卡定理

皮卡小定理說明，如果函數f(z)是整函數且不是常數，則f(z)的值域或者是整個複平面，或者只去掉一個點。

這個定理在1879年證明。它強化了劉維爾定理：任何不是常數的整函數都一定是無界的。

函數exp(1/z)，在z=0處具有本性奇點。z的色相表示它的輻角，而發光度則表示絕對值。這個圖像說明了接近於奇點時，可以取得任何非零的值。

皮卡大定理說明，如果f(z)在點w具有本性奇點，那麼在任何含有w的開集中，對任意非∞的複數值A，有無窮多個z使得f(z)=A，A最多只有一個例外。以上定理是說，全純函數在本性奇點的任意鄰域內，“無窮多次”地取到每一個有限的復值，至多有一個例外值。這個定理強化了魏爾施特拉斯-卡索拉蒂定理，它只保證了f的值域在複平面內是稠密的。

這個“唯一的例外”實際上在兩個定理中都是需要的：指數函數ez是一個整函數，永遠不能是零。e1/z在0處具有本性奇點，但仍然不能取得零。

皮卡大定理在一個更一般的形式中也是正確的，可以應用於亞純函數：如果M是一個黎曼曲面，w 是M上的一個點，P1C = C∪{∞}表示黎曼球面，f : M \ {w} → P1C是一個全純函數，在w處具有本性奇點，那麼在M的任何含有w的開子集中，函數f都可以取得除了兩個點以外的所有P1C的點。

例如，亞純函數f(z) = 1/(1 − exp(1/z))在z = 0處具有本性奇點，在0的任何鄰域內都無窮多次取得值∞；但它無法取得0或1的值。

皮卡小定理可以從皮卡大定理推出，因為整函數要麼是多項式，要麼在無窮遠處具有本性奇點。