全純函數

全純函數是定義在複平面C的開子集上的，在C中取值的函數，在每點復可微。這是比實可微強得多的條件，它表示函數無窮可微並可以用它的泰勒級數描述。解析函數(analytic function)一詞經常可以和"全純函數"互相交換使用，雖然前者有幾個其他含義。一個在整個複平面上全純的函數稱為整函數(entire function)。"在一點a全純"不僅表示在a可微，而且表示在某個中心為a的複平面的開鄰域可微。

若U為C的開子集而是一個函數，我們稱f是在U中一點復可微(complex differentiable)，若極限

存在。

極限取所有趨向的複數的序列，並對所有這種序列差的商趨向同一個數. 直觀上，如果f在復可微而我們從r方向趨向點，則函數的像會從方向趨近點，其中的乘積是複數乘法。

這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質: 它是線性的，並服從乘積，商和鏈式法則。

若f在U中每點復可微，我們稱f'在U上全純。我們稱f在點全純，如果它在的某個鄰域全純。

下面是一個等價的定義。一個複函數全純當且僅當它滿足柯西-黎曼方程.

z的所有復係數的多項式函數在C上是全純的.

所有z的三角函數和所有指數函數也是. (三角函數事實上和指數函數密切相關並可以通過歐拉公式來用指數函數定義).

對數函數的主支在集合上全純. 平方根函數可以定義為

所以任何對數全純的地方，它也全純。函數在上全純.

不是全純的函數的典型例子有復共軛(complex conjugation)和取實部.

性質

因為復微分是線性的，並且服從積、商、鏈式法則，所以全純函數的和、積和複合是全純的，而兩個全純函數的商在所有分母非0的地方全純。

每個全純函數在每一點無窮可微。它和它自己的泰勒級數相等，而泰勒級數在每個完全位於定義域U內的開圓盤上收斂。泰勒級數也可能在一個更大的圓盤上收斂；例如，對數的泰勒級數在每個不包含0的圓盤上收斂，甚至在復實軸的附近也是如此。證明請參看全純函數解析。

若把C和R2等同起來，則全純函數和滿足柯西-黎曼方程的雙實變數函數相同，該方程組含有兩個偏微分方程。

在非0導數的點的附近，全純函數是共形的(或稱保角的)。因為他們保持了小圖形的角度和形狀(但尺寸可能改變)。

柯西積分公式表明每個全純函數在圓盤內的值由它在盤邊界上的取值所完全決定。

幾個變數

多復變數的復解析函數定義為在一點全純和解析，如果它局部可以(在一個多盤，也即中心在該點的圓盤的直積)擴張為收斂的各個變數的冪級數。這個條件比柯西-黎曼方程要強；事實上它可以這樣表述:

一個多復變數函數是全純的當且僅當它滿足柯西-黎曼方程並且局部平方可積。

擴展到泛函分析

全純函數的概念可以擴展到范函分析中的無窮維空間。Fréchet導數條目介紹了巴拿赫空間上的全純函數的概念。