置換矩陣

定理 1 當 時，一個 的(0,1) 矩陣P為置換矩陣的充要條件是P的每一行恰有一個 1，每一列恰有一個 1。

置換矩陣在數學中的矩陣論里，置換矩陣是一種係數只由0和1組成的方塊矩陣。置換矩陣的每一行和每一列都恰好有一個1，其餘的係數都是0。在線性代數中，每個n階的置換矩陣都代表了一個對n個元素（n維空間的基）的置換。當一個矩陣乘上一個置換矩陣時，所得到的是原來矩陣的橫行（置換矩陣在左）或縱列（置換矩陣在右）經過置換后得到的矩陣。

每個n元置換都對應著唯一的一個置換矩陣。設π 為一個n元置換：它對應的的置換矩陣Pπ是：在第i橫行只有位置上係數為1，其餘為0。即可以寫做：其中每個表示正則基中的第j個，也就是一個左起第j個元素為1，其餘都是0的n元橫排數組。由於單位矩陣是置換矩陣也可以定義為單位矩陣的某些行和列交換后得到的矩陣。

置換矩陣與置換設Sn是n次對稱群，由於n置換一共有n! 個，n階的置換矩陣也有n! 個。這n! 個置換矩陣構成一個關於矩陣乘法的群。這個群的單位元就是單位矩陣。設A是所有n階的置換矩陣的集合。映射是一個群的忠實表示。對一個置換σ，其對應的置換矩陣Pσ是將單位矩陣的橫行進行 σ 置換，或者將單位矩陣的橫行進行 σ 置換得到的矩陣。置換矩陣是雙隨機矩陣的一種。伯克霍夫-馮·諾伊曼定理說明每個雙隨機矩陣都是同階的置換矩陣的凸組合，並且所有的置換矩陣構成了雙隨機矩陣集合的所有端點。置換矩陣Pσ的跡數等於相應置換σ的不動點的個數。設 為其不動點的序號，則是Pσ的特徵向量。由群論可以知道，每個置換都可以寫成若干個對換的複合。由此可知，置換矩陣Pσ都可以寫成若干個表示兩行交換的初等矩陣的乘積。Pσ的行列式就等於 σ 的符號差。推廣 置換矩陣概念的一個推廣是將方陣的情況推廣到一般矩陣的情況：一個的0-1矩陣 P 是置換矩陣當且僅當 這時一個0-1矩陣是置換矩陣當且僅當它的每一行恰有一個1，每一列至多有一個1。置換矩陣概念的另一個推廣是將每行的1變為一個非零的實數：一個n階的方塊矩陣 P 是置換矩陣當且僅當其每一行與每一列都恰好只有一個係數不為零。這時的置換矩陣P可以看做由0和1組成的置換矩陣Q與一個對角矩陣相乘的結果。