初等常微分方程

常微分方程的通解，粗略地說就是：①它把未知函數y表示為自變數x的顯函數的形式y=φ(x)，此函數滿足該微分方程。②在此表達式中含有一些任意常數，其個數恰等於方程的階數。當這些常數任意變動時即能得到方程的所有解，除了少數解是例外。③表達式適用於全空間，或至少不是局部的而是大範圍的。如果在這定義中不要求①成立，即在所得的表達式中未知函數可能是自變數的隱函數形式φ(x，y)=0,則稱此表達式為通積分。通解（或通積分）的嚴格定義，實際上就是進一步把條件②的後半部作嚴格的敘述，即要求：對於該表達式所適用的區域中任意給定的初始條件，必能找到任意常數的一組確定的值，使得這組值所對應的解（或積分）能夠滿足這個初始條件。

出現於方程中的變數x、y可以是實變數，也可以是復變數。一個解y=φ(x)或積分φ(x,y)=0在(x，y)空間中的軌跡稱為方程的積分曲線。當（x，y）為實數時，積分曲線就是（x，y）平面上的曲線。當（x，y）為複數（x=x1+ix2,y=y1+iy2）時，積分曲線是四維實空間（x1，x2，y1,y2）中的二維曲面。通解或通積分的軌跡稱為積分曲線族。要求一個解或積分滿足已給的初始條件，就是要求由它所確定的積分曲線通過預先給定的一點。

下面根據方程形式的不同，或階數與個數的不同，分別作簡要的介紹：

可分離變數的方程 形如

(1)

的一階方程稱為可分離變數的方程，當 ?2(y)g1(x)≠0時，(1)可化為變數已分離的方程兩邊求積分，即得通積分

(2)

式中C為任意常數。如能由(2)解出

， (3)

則稱之為(1)的通解。(2)或 (3)滿足上述對通解或通積分要求。除此以外，還必須再補上使?2(y)=0的一個或多個的常數解y呏yi,以及使g1(x)=0的常數解x呏xj,這些常數解有時能由(2)中令C=0 或1/C=0得到，有時則不能。例如，在用分離變數法求解方程時丟掉的解y=±1不能包含在通解y=sin(x+C)之中。這一類丟掉的解往往是奇解。所謂奇解就是在其上處處破壞初值問題惟一性的解（見常微分方程初值問題）。

有些看上去是不能分離變數的方程，通過變數代換可以化為可分離變數的方程來求解。最常遇到的是齊次常微分方程

(4)

它可借代換y=ux而化為這裡應注意，一般講，x=0並非(4)的解。還有一些方程，例如，方程經代換y=x+u,方程經兩次代換y3=v及v=ux,均可化為可分離變數的方程。不過用這種方法有時並非易事，也並不一定都能辦到。

一階線性方程 形如

(5)

的方程稱為一階線性方程，其中P(x)、Q(x)為已知函數。在分離變數法中，x、y被平等地看待，而方程(5)僅當把x看成自變數、y看成未知函數時它才稱為線性方程，理由是此方程對於y與y┡的總體來說是線性的。稱

(6)

為對應的齊次線性方程，它有通解

(7)

式中C為任意常數。又(6)的滿足初始條件y(x0)=y0的特解是

(8)

對於(5)，可以求它的形如(7)的通解

(9)

但其中C(x)是x的待定的函數。(9)式實際上也是一種變數代換。由此即可求出C(x),從而得到(5)的通解為

(10)

式中C1為任意常數。又(5)的滿足初值條件y(x0)=y0的特解是

(11)

以上這種解法稱為常數變易法，它同樣適用於線性方程組和線性高階方程。即使對無法求出通解的非線性方程，常數變易公式（類似於(11)式）在理論研究上也是十分有用的。

有些微分方程可以通過變數代換而化為一階線性方程。最常見的是伯努利方程

(12)

所用的變數代換是z=y。又如對方程可改用x為未知函數、y為自變數而化為又如可借變數代換w=arctanv而化為線性方程，等等。

黎卡提方程及其他 在常微分方程的發展史上，黎卡提方程

(13)

有著特殊的重要性。J.F.黎卡提本人研究了(13)的特例

(14)

證明若α=4k/(1±2k),(k=0，1，2，…)，則(13)總可通過變數代換而化為可分離變數的方程。方程(13)還有一些其他的可積類型。但是早在1841年J.劉維爾就證明了：當α≠4k/(1±2k),(14)不能用初等積分法求有限形式的通解，因此，對於一般的(13)，不能用有限次的初等運算求其通解。如果已知(13)的一個特解y1(x),則借代換y=y1(x)+z可以化(13)為伯努利方程，由此可導出(13)的通解是任意常數的分式線性函數。又若已知(13)的三個特解y1,y2,y3，則通解可由給出；從而(13)的任意四個特解的交比恆等於常數。

復變數的黎卡提方程在常微分方程解析理論中也有它的重要性，因為它是只可能有動極點而無動支點的方程，此外，它還和微分幾何學與複變函數論中的一些重要問題有密切關係。

熟知的可積類型還有：①雅可比方程 它至少有一直線解u1x+u2y+u3=0，而經變數代換則可化為x┡,y┡的齊次方程。②達布方程

(16)

式中?i(x,y)都是x、y的多項式，其最高次數為m。當有個特解為已知時，它是可積分的。③第一類阿貝爾方程和第二類阿貝爾方程它們也有不少情況是可積的。E.卡姆克在他的《微分方程──解法和解》（第 1卷中譯本名為《常微分方程手冊》，1977）一書中列舉了這些情況。秦元勛指出，其中有一半以上的可積一階方程其通積分都具有（通常稱為達布積分）

(17)

的第一類顯易解結構及形如的第二類顯易解結構。

恰當方程與積分因子 滿足條件

(18)

的微分方程

(19)

(19)稱為恰當（微分）方程或全微分方程。(19)式左邊可寫為dU(x,y)的形式,U(x,y)可借沿特殊道路的線積分求出，而(19)的通積分是U(x,y)=C。但若M、N的偏導數有不連續點時，則U(x,y)可能是多值函數。

當條件(18)不滿足時，如果能找到函數μ(x,y) 使或即

(20)

則方程μMdx+μNdy=0便成為恰當方程。稱μ(x,y)為(19)的積分因子。積分因子有無數個之多，當已知一個積分因子μ時，其他的積分因子便都可寫成μφ(U)的形式，因此μ1(x,y)/μ2(x,y)=C也是(19)的通積分。

(20)是關於μ(x,y)的一階線性偏微分方程，求它的通解比求(19)的通解困難。但當M、N滿足一定的條件時可以只求(20)的一個一元函數特解。例如，若

(21)

即(21)式左邊的表達式與y無關，則這時(20)有解它就是(19)在條件(21)之下的積分因子。仿此，可以得出(19)有形如μ(y)，等形狀的積分因子時所應滿足的條件。

易見方程(1)實際上是借積分因子而被化為恰當方程(2)，方程(5)滿足條件(21)，故有積分因子又當(19)為齊次方程且xM+yN扝0時有積分因子

一階隱方程 形如

(22)

的方程稱為一階隱方程。當x、y的值固定時，一般由(22)可以解出不止一個的y┡的值，這表示往往有多於一條的積分曲線經過(x,y)空間的一定點。特別，如果對於某一曲線Г上的每一點(x,y),由(22)式解得的y┡都有重根，並且Г本身也是(22)的積分曲線，則它往往就成為(22)的奇解。一般,Г也是(22)的積分曲線族的包絡（有例外）。所以，求解隱方程(22)時經常在通解以外還可以得到奇解或包絡。當求解由幾何學所導出的隱方程時，目的往往是後者而非前者。

若(22)可就y┡解得若干個一階顯方程

(23)

又能求得(23)中每一方程的通積分為Gi(x,y,C)=0，則(22)的通積分是　又若已知曲面F(x,y,z)=0有參數表示式: 則方程(22)等價於由此可得u、v的一階顯方程

(24)若

ω（u，v，C）=0是(24)的通積分，則x=?(u,v)，y=g(u,v)，ω(u，v,C)=0是(22)的通積分。這種求解方法稱為引入參數法。

在求解(22)時，常記y┡為p，且以p為參數來表達積分曲線族的方程。若由(22)可解得y=?(x,p)或x=φ(y,p)，取x、p(或y、p)為參數即可把(22)化成(24)的形式。又若(22)取特殊形式

(25)

則只要知道這種隱方程的參數表達式，由此導出的方程(24)必定是變數可分離的方程。

如果存在常數k，使(22)中的函數F能滿足則(22)稱為廣義齊次方程。這時可令x=et,y=zekt，而化(22)為即(25)的前一方程的形式。顯然當k=1時(22)是比(4)更廣的齊次一階隱方程。

一階隱方程中，特別重要的是克萊羅方程

(26)

它的通解是y=Cx+φ(C),表示一族直線；而奇解恰好是此直線族的包絡。方程(26)之所以重要是因為幾何學中要找一條曲線，使它的任一切線都具有某種與切點無關的性質，則所得的正是形如(26)的方程，其中x、y為實變數。

有時對方程(22)可使用勒讓德變換Χ=y┡,Y=xy┡-y將方程變形。此變換的逆變換也具有同樣的形式:；稱為對稱原理。當兩方程F(x,y,p)=0與F(P,ΧP-Y,Χ)=0中的任一個可求積時，另一方程的通解便可借代數方法由前一方程的通解導出。這種變換在微分方程的理論研究中也很有用處。

對於方程(22),由F(x,y,p)=0及消去p得到的關係式φ(x,y)=0，稱為(22)的p-判別式。設(22)的通積分為φ(x,y,с)=0, 則由φ(x,y,с)=0及消去C而得到的關係式ψ(x，y)=0稱為(22)的C-判別式。如果(22)的奇解或積分曲線族的包絡存在的話，其方程必同時含於p-判別式和C-判別式之中，但其逆不一定成立。一個典型的例子是

(27)

其通積分為C-判別式為x(x-α)=0,p-判別式為是奇解，也是積分曲線族的包絡。但x=α是結點軌跡，不是(27)的解；是切點軌跡，也不是(27)的解。若α=0，則x=0成為積分曲線族的尖點軌跡，它也不是方程4p2=9x的解。

高階方程 一般形式為

(28)

這類方程中比較典型的可求通積分或可降階的有以下幾種：①y=?(x)，對x積分n次即得通解。②y″=?(y)，此方程有明顯的物理學意義。以 2dy乘之，積分，得：它表示能量守恆律，再積分即得通解。③F(x，y,…,y)=0可借代換z=y降階k次。④F(y,y┡,…,y)=0，可改取y為自變數，y┡=p為未知函數而降階一次。⑤F(x,y)=0，若能找到方程的參數表示式x=φ(t)，y=ψ(t)，便可將y逐次對x積分而得出通解的參數表示式。⑥若F對y,y┡,…,y為齊次函數，即F(x，ty，…，ty)=tmF(x，y，…，y)，則可借代換z=y┡/y而把（28）降階一次。⑦像一階恰當方程一樣，(28)有時也可表為的形式。積分一次，即可降階為n-1階方程，例如若

(29)

關於y″為線性，記F(x，y，y┡，y″)=A(x,y,y┡)y″+B(x,y,y┡)，視x、y為常數，將A對y┡積分，記其原函數為G(x,y,y┡),設且M、N滿足條件(18)，則(29)即為恰當方程。特別，二階線性方程y″+p(x)y┡+q(x)y+r(x)=0，當q(x)=p┡(x)時為恰當方程。

方程組的初等積分法 方程組

(30)

的初等積分法基本上依賴於前面講過的兩種方法的合併使用，即，①經過方程之間的組合以構成可積方程；②利用已經得到的積分（稱為首次積分）來減少未知函數的個數。只要能得到n個獨立的首次積分，它們合在一起就構成了(30)的通積分。為了實現①，往往把(30)改寫成的形式，然後利用比例的性質得到分子與分母的有用的組合。例如對

(31)

由第一等式和前兩個等式不難得到兩個獨立首次積分: 再用后一等式代入(31)的最後一項，令與第一項相等，又可積得它和前兩個首次積分一起就構成(31)的通積分。有時用不同的方法可得不同的首次積分，但可證明(30)的獨立的首次積分最多只有n個。又若能用上述方法求得(30)的k個獨立的首次積分，就可以利用它們來把(30)降為只 含n-k個未知函數的方程組。一般，由實際問題導出的方程組要想用初等積分來求得通解往往是辦不到的。例如在天體力學中，由三體問題建立的一階方程組含有18個方程，而人們只能找到它的10個獨立的首次積分。即使對平面限制性圓形三體問題的最簡單情況，通積分也還未求出來。