內部收益率

內部收益率是一個宏觀概念指標，最通俗的理解為項目投資收益能承受的貨幣貶值，通貨膨脹的能力。比如內部收益率10%，表示該項目操作過程中每年能承受貨幣最大貶值10%，或通貨膨脹10%。

同時內部收益率也表示項目操作過程中抗風險能力，比如內部收益率10%，表示該項目操作過程中每年能承受最大風險為10%。另外如果項目操作中需要貸款，則內部收益率可表示最大能承受的利率，若在項目經濟測算中已包含貸款利息，則表示未來項目操作過程中貸款利息的最大上浮值。

比如，若內部收益率以8%為基準，並假設通脹在8%左右。若等於8%則表示項目操作完成時，除“自己”拿的“工資”外沒有賺錢，但還是具有可行性的。若低於8%則表示等項目操作完成時有很大的可能性是虧本了。因為通貨膨脹，你以後賺的錢折到現在時就很有可能包不住你現在投入的成本。投資回報期較長的項目對內部收益率指標尤為重要。比如酒店建設一般投資回收期在10-15年左右，大型旅遊開發投資經營期50年以上。這是內部收益率最通俗、最實際的意義。

（1）計算年金現值係數(p/A，FIRR，n)=K/R；

（2）查年金現值係數表，找到與上述年金現值係數相鄰的兩個係數(p/A，i1，n)和(p/A，i2，n)以及對應的i1、i2，滿足(p/A，il，n) >K/R>(p/A，i2，n)；

（3）用插值法計算FIRR：

（FIRR-i2）/（i1—i2）=[K/R-(p/A，i2，n) ]/[(p/A，i1，n)—(p/A，i2，n)]

若建設項目現金流量為一般常規現金流量，則財務內部收益率的計算過程為：

1、首先根據經驗確定一個初始折現率io。

2、根據投資方案的現金流量計算財務凈現值FNpV(i0)。

3、若FNpV(io)=0，則FIRR=io；

若FNpV(io)>0，則繼續增大io；

若FNpV(io)<0，則繼續減小io。

（4）重複步驟3)，直到找到這樣兩個折現率i1和i2，滿足FNpV(i1) >0，FNpV (i2)<0，其中i2-il一般不超過2%-5%。

（5）利用線性插值公式近似計算財務內部收益率FIRR。其計算公式為：

（FIRR- i1）/ （i2-i1）= NpV1/ │NpV1│+│NpV2 │

註：│NpV1│+│NpV2 │是指兩個絕對值相加

(CI 為第i年的現金流入、CO 為第i年的現金流出、ai 為第i年的貼現係數、n 為建設和生產服務年限的總和、i 為內部收益率)

(1)在計算凈現值的基礎上，如果凈現值是正值，就要採用這個凈現值計 算中更高的折現率來測算，直到測算的凈現值正值近於零。

(2)再繼續提高折現率，直到測算出一個凈現值為負值。如果負值過大，就降低折現率后再測算到接近於零的負值。

(3)根據接近於零的相鄰正負兩個凈現值的折現率，用線性插值法求得內部收益率。

內部收益率法的優點是能夠把項目壽命期內的收益與其投資總額聯繫起來，指出這個項目的收益率，便於將它同行業基準投資收益率對比，確定這個項目是否值得建設。使用借款進行建設，在借款條件（主要是利率）還不很明確時，內部收益率法可以避開借款條件，先求得內部收益率，作為可以接受借款利率的高限。但內部收益率表現的是比率，不是絕對值，一個內部收益率較低的方案，可能由於其規模較大而有較大的凈現值，因而更值得建設。所以在各個方案選比時，必須將內部收益率與凈現值結合起來考慮。

內部收益率就是在考慮了時間價值的情況下，使一項投資在未來產生的現金流量現值，剛好等於投資成本時的折現率，而不是你所想的“不論高低凈現值都是零，所以高低都無所謂”，這是一個本末倒置的想法了。因為計算內部收益率的前提本來就是使凈現值等於零。

說得通俗點，內部收益率越高，說明你投入的成本相對地少，但獲得的收益卻相對地多。比如A、 B兩項投資，成本都是10萬，經營期都是5年，A每年可獲凈現金流量3萬，B可獲4萬，通過計算，可以得出A的內部收益率約等於15%，B的約等於28%，這些，其實通過年金現值係數表就可以看得出來的。

內部收益率

內部收益率是進行盈利能力分析時採用的主要方法一。從經濟意義上，內部收益率IR R的取值範圍應是：—1內插法”求IRR的近似解。

內部收益率被普遍認為是項目投資的盈利率，反映了投資的使用效率，概念清晰明確。比起凈現值與凈年值來，各行各業的實際經濟工作者更喜歡採用內部收益率。內部收益率指標的突出優點就是在計算時不需事先給定基準折現率，避開了這一既困難又易引起爭論的問題。內部收益率不是事先外生給定的，是內生決定的，即由項目現金流計算出來的，當基準折現率不易確定其準確取值，而只知其大致的取值區間時，則使用內部收益率指標就較容易判斷項目的取捨，IRR優越性是顯而易見的。

但是，內部收益率也有諸多缺陷和問題，如多解和無解問題、與凈現值指標的衝突問題等，給我們帶來了諸多不便和困惑。

凈現值和內部收益率指標的關係

凈現值NPV（Net present value）是一個價值型指標，其經濟涵義是投資項目在整個壽命期內獲得的超過最低期望收益水平的超額凈收益現值總和。凈現值的含義較為明確，也易於理解，凈現值NPV是基準折現率i0的函數，並且隨著i0的增大而減小。內部收益率IRR是一個效率型指標，其經濟涵義的表述方式較多，常見的表述是投資項目壽命期內尚未收回投資餘額的盈利率，反映了投資額的回收能力，內部收益率與基準折現率i0的大小無關。但是採用兩個指標對投資方案進行評價時，它們的評價結論均受基準折現率i0大小的影響，其中內部收益率IRR方法是以基準折現率i0為判別標準的。凈現值和內部收益率指標都隱含了投資項目的各年凈現金流量全部用於再投資的假說。但凈現值指標假設投資項目各年（各期）凈現金流量（投資凈收益）均按基準折現率i0再投資。而內部收益率則假設投資項目各年（各期）凈現金流量（投資凈收益）均按內部收益率再投資，將IRR的定義式進行簡單的變換即可。明顯，一般情況下投資項目各年投資凈收益是很難再按該項目的內部收益率再投資的，故內部收益率的再投資假設是不合理的，而前者凈現值指標的按投資者期望達到的最低貼現率水平i0再投資的假設要更為合理。一般情況下，凈現值和內部收益率指標對投資方案的採納與否的結論是一致的，即當方案的NPV≥0時，IRR≥i0。但是，當對互斥方案組進行評價排序時，凈現值和內部收益率指標可能產生不一致的結論（產生衝突）。究其原因，正是兩種方法再投資假設的不同所致。

近年來，有不少學者對於凈現值和內部收益率的衝突問題及解決方法進行了深入研究，並就IRR指標的改進和修正方法等問題發表了諸多文章。但影響技術方案評價決策問題的因素繁多，單靠一個指標的能力和作用是有限的，需要諸多指標相互配合綜合分析。問題的關鍵是讓決策者充分了解各個評價指標的經濟涵義並能認識到它們固有的缺陷，以恰當運用和防止決策失誤。如果一味地對IRR指標進行修正完善，反而會給原指標的經濟涵義帶來混亂，計算也越來越繁瑣而不實用，更給決策者帶來困惑，因而不易提倡。且有些修正方法與已有指標如外部收益率ERR等基本趨同，缺乏新意。

因此應將研究的重點放在技術方案之間相互關係和評價指標體系優化的問題上來，實踐中應強調各個指標（如凈現值、凈現值率、內部收益率、差額凈現值、差額內部收益率、投資回收期等）的靈活選用，取長補短、相互補充、綜合評價、科學決策。

舉例分析

有A、B、C、D、E、F、G七個方案，現金流量情況如表1。表中對各個方案的NPV和IRR等指標進行了計算。其中：A、B、C三方案的投資額相同，D、E、F、G的投資額相同。G方案的IRR無解。 ⑴ 對A、B、C三個投資額相同方案的分析

累計凈現金流量∑NCFt 對比：A方案﹤B方案﹤C方案；

凈現值NPV對比：A方案﹤B方案﹤C方案；

內部收益率IRR對比：B方案﹥A方案﹥C方案。

由C、B兩方案可以看出，C方案∑NCFt 和NPV較高，但B方案的IRR較高，所以IRR有利於前期收益高的方案；D、E方案也同樣具有此種現象。 ⑵ 不同投資規模的方案的比較， NPVI排序（如表）較合理。但是，就A、C兩方案而言，C方案的風險較大，保守者將傾向於A，冒險者將傾向於C。

⑶ 若結合凈現值函數曲線分析各個方案有關指標的變化情況，特徵更為明顯。

內部收益率的存在性討論

由內部收益率的定義式知，它對應於一個一元高次多項式（IRR的定義式）的根。該 一元高次多項式的根的問題，也就是內部收益率的多解或無解問題，是內部收益率指標一個突出的缺陷。利用笛斯卡爾（Desdartes）判別準則可以判斷一元高次多項式實根的個數。對於內部收益率的多解或無解問題，目前學術界說法不一，但其中有些說法是欠妥的，諸如“內部收益率的不存在是由於項目再投資造成的”，“當一元高次多項式多解，但存在唯一正根時，這一正根就是項目的內部收益率”等等。

這裡就一元高次多項式出現多根問題后，內部收益率的存在性及判斷問題進行重點討論。容易證明，常規投資項目必定存在內部收益率，而非常規投資項目無論一元高次多項式的解有多少，其內部收益率則有可能不存在。究其原因，顯然是與項目的投資結構和全部現金流量緊密相關，是由於項目投資的不連續（出現了追加投資）而造成的。

如前所述，根據內部收益率的定義，可以得出它的經濟涵義和再投資假設。進一步地，通過驗證其投資回收過程也不難發現如下結論：內部收益率IRR經濟涵義的進一步解釋——“即按內部收益率IRR換算，投資項目在整個壽命期內始終處於投資回收狀態，壽命期內各年始終存在未回收的投資”，由於各年始終存在未回收的投資，所以根本就不需要考慮項目收益的再投資問題。這樣也進一步驗證了再投資假說。內部收益率解的判別等問題必須基於這一結論。

如前面所述，大多數項目都是在建設期集中投資，直到投產初期可能還出現入不敷出，凈現金流量為負值，但進入正常生產或達產後就能收入大於支出，凈現金流量為正值。因而，在整個計算期內凈現金流量序列的符號從負值到正值只改變一次，我們把在計算期內，凈現金流量序列的符號只變化一次的項目稱為常規項目。對於常規項目，若累計凈現金流量大於零，一般會有一個正實數根，則其應當是該項目的內部收益率。

在計算期內，如果項目的凈現金流量序列的符號正負變化多次時，則稱此類項目為非常規項目。一般地講，如果在生產期大量追加投資，或在某些年份集中償還債務，或經營費用支出過多等，都有可能導致凈現金流量序列的符號正負多次變化，構成非常規項目。非常規投資項目內部收益率方程的解顯然不止一個。這些解中是否有真正的內部收益率呢？這需要按照內部收益率的經濟涵義進行檢驗：即以這些根作為盈利率，看在項目壽命期內是否始終存在未被回收的投資。

首先看一元高次多項式是否有正實數根，如果有多個正實數根，則須經過檢驗，符合內部收益率經濟涵義的根才是項目的內部收益率；如果只有一個正實數根，則可能是該項目的內部收益率，也可能不是，同樣需要檢驗。如果無正實數根，或所有實數根都不能滿足內部收益率的經濟涵義的要求，則該項目無解。對這類投資項目，一般地講，內部收益率法已失效，不能用它來進行項目的評價和選擇。

目前，對於非常規投資項目內部收益率方程多根時，這些根中是否有真正的內部收益率解的問題，即解的存在性問題，還沒有一個判別定理。下面，就此問題深入討論。

對於非常規投資項目（或技術方案），若在其整個壽命期內除初始投資之外，還存在多次追加投資或凈現金流量為負（設有K次，K≥1）,則一元高次多項式會產生多個實根。為了表述方便，這裡引入兩個概念：①追加投資維持期。所謂追加投資維持期是指從該次（第k次，k=1,2,3,……,K）追加投資發生時點起直至整個投資項目壽命期末的時間。特別地，k=K時，指最後一次追加投資維持期；k=0時，指整個投資項目壽命期；②追加投資凈現值。是指在第k次追加投資維持期內全部現金流量的貼現之和（貼現至第k次追加投資發生初時點），且記為：NPVk（i）。

IRR存在性判別定理

當一元高次多項式（IRR定義式）多根(設有M個正實根，分別是IRR1、IRR2、IRR3、……IRRM)，其中，若有某一正實根IRRm(m=1,2,3,……,M)能使所有的追加投資凈現值大於等於零，即：

NPVk（IRRm）≥ 0 k = 0,1,2,3,……,K

則這一正實根IRRm就是整個投資項目的內部收益率。

明顯，當k = 0時, NPVk（IRRm）= 0。

定理證明

若IRRm使某一次（第k次）追加投資凈現值NPVk（IRRm）< 0（k不為零時）。則表明第k次追加投資在其維持期內收益過低，按IRRm貼現計算的凈現值為負值，不能彌補本次追加投資。對於其產生的虧空，必然需要前期投資全部回收並有盈餘來予以彌補。這樣若對整個投資回收過程進行驗證，就會在此次追加投資時點之前出現盈餘資金，以彌補後期追加投資的虧空。投資項目在整個壽命期內就不會始終處於投資回收狀態，而是出現了局部的盈餘，也就不可能始終存在未回收的投資，則與再投資假說相餑, 所以IRRm就不是投資項目的內部收益率。

若IRRm能使各個追加投資凈現值NPVk（IRRm）≥ 0，就可以保證投資項目在整個壽命期內就始終處於投資回收狀態，始終存在未回收的投資，則與內部收益率的經濟涵義及再投資假說相符, 所以此時的IRRm就是投資項目的內部收益率。

得出的結論

結論一：當一元高次多項式多根時，可用使所有的追加投資凈現值NPVk（IRRm）≥0 準則來判斷整個投資項目內部收益率的存在性。

結論二：投資項目之所以不存在內部收益率是由於項目追加投資在其維持期內的投資收益過低，不能彌補追加投資而造成的。

結論三：當一元高次多項式多根，但只存在唯一正根時，它不一定就是項目的內部收益率。需要用結論一來判明。

使用誤區

內部收益率指標在對單方案評價時是正確的，在多方案的比較中，如果直接將兩個或兩個 以上方案的內部收益率拿來比較，並認為內部收益率大的方案優於內部收益率小的方案，就可能導致錯誤的結果，如果採用這種做法實際上就進入了內部收益率的使用誤區。然而在實際應用和研究中錯誤使用內部收益率指標的人卻很多，這是什麼原因呢?

錯誤原因

內部收益率指標的錯誤使用主要是因為對內部收益率的內在含義不理解。內部收益率是使凈現值為零時的貼現率。其基本表達式為:

NPV——凈現值;CIt——第t年的現金流入額。式中:COt——第t年的現金流出額;IRR——內部收益率;n——項目壽命年限。

對於單獨項目，內部收益率的評價是正確的，其判定標準為：設i0為基準折現率,

當IRR≥i0,則項目在經濟效果上可以接受；當IRR

IRR為NPV曲線與橫坐標交點處對應的折現率。隨著折現率不斷增大凈現值不斷減小，直到折現率等於IRR處凈現值為零。這就是說，當基準折現率小於IRR時，凈現值為正，項目方案可行，當基準折現率大於IRR時，凈現值為負，項目方案不可行。

從IRR的基本表達式和圖1可以看出:IRR的計算不需要知道項目的基準折現率，即不需要考慮市場利率及隨時間變化的一些不確定性因素，這就是其優勢所在，因此應用內部收益率指標的人也很多，但如果對內部收益率內涵理解不夠清晰，就會進入內部收益率使用的誤區，即直接依據多方案的內部收益率大小來比較優劣。內部收益率雖能準確反映項目實際盈利狀況的可能趨勢，但卻反映不出項目實際收益率的真實數據。所以，內部收益率只能應用於單個項目自身經濟性的評價，不能將兩個或多個項目的IRR直接拿來比較優劣。

在基準折現率確定中的不當使用及原因

基準折現率是企業在項目決策中將各個不同時期的資金聯繫起來的紐帶，它使不同時期的費用和效益具有可比性，從動態的角度充分體現了資金的時間價值。基準折現率在計劃經濟時代是由國家有關部門行業官方測算公布的，用來評價那些國有投資項目。而對於現在多種形式的投資項目而言，它並沒有太大的價值，主要原因是各個項目對投資回報的要求不盡相同。現在，基準折現率多是由投資企業或行業自己決定。所以，一旦企業基準折現率確定的不合理，就會對整個企業盈利性造成很大影響。而決定基準折現率的因素也比較複雜，對於單個項目，基準折現率的大小主要取決於資金來源（借貸資金、新增權益資本和企業再投資資金等）的結構及各種資金的成本，並要考慮到影響投資的項目風險和通貨膨脹因素。

而對於整個企業或行業，若從總體的目標出發就產生了另外一種觀點，即把從資金需求和供給角度決定的截止收益率作為企業或行業的基準折現率。這種方法是建立在以下假定條件下的:

1.企業是從總體目標出發為使企業全部凈投資收益最大化而決策。

2.企業明確全部的投資機會，能正確估算所有被選投資項目的內部收益率並將不同項目的收益率調整到同一風險水平上。

3.企業可以通過各種途徑籌集到足夠的資金，並能正確估算出不同來源資金的資金成本。

同時認為在一個經濟實體中，隨著投資規模的擴大，籌資成本會越來越高。而在有眾多投資機會的情況下，如將籌集到的資金優先用於收益率高的項目，那麼隨著投資規模的擴大，新增投資項目的收益率會越來越低。當新增投資帶來的收益僅能補償其資金成本時，投資規模的擴大就應該停止。此時的收益率就是截止收益率，也就是企業從總體目標出發所得的目標收益率。

運用內部收益率率法進行投資決策時，其決策準則是：IRR大於公司所要求的最低投資報酬率或資本成本，方案可行;IRR小於公司所要求的最低投資報酬率，方案不可行，如果是多個互斥方案的比較選擇，內部收益率越高，投資效益越好。內部收益率法的優點是考慮了投資方案的真實報酬率水平和資金時間價值;缺點是計算過程比較複雜、繁瑣。

封閉式基金高折價率的背後是一隻什麼樣的指揮棒在揮舞？市場也在不斷地尋找這背後的原因和價值。

折價率為何再創新高。

從外在表現來看，要歸因於基金凈值與價格、不同規模基金間價格兩大不同步。一是基金凈值與二級市場價格不同步，二級市場價格表現要落後於凈值上升幅度。二是不同規模基金價格不同步。儘管近期基金凈值均有一定上揚，但由於大部分大盤基金到期日較遠，小盤基金到期日較近，不同規模基金的流動性差異較大，市場表現有很大的區別。

從內在因素來看，要歸因於制度缺陷、管理缺陷和套利機會缺失。制度缺陷、管理缺陷主要包括封閉式基金與開放式基金的運行機制不同易出現道德風險；不成文的“開放式基金優先交易原則”；基金持有人機構化特徵加劇導致流動性不足等等。套利機會的缺失則是封閉式基金逐步邊緣化、折價率不斷上升的理論解釋。封閉式基金在存續期內不能贖回和極差的流動性大大地阻礙了套利機制的通暢，導致了交易價格與凈值的長期背離。

高折價≠高價值 低分紅率≠低價值

封閉式基金的投資價值決定於四大因素：業績表現、折價率、存續期和到期安排。不考慮其他三個因素的高折價率，是不能說明其投資價值的大小的。只能說從理論上講高折價率之下的超低價格，具有一定的市場投資機會，且市價與凈值之間的巨大差距，使其風險相對較小。一些封閉式基金由於凈值長期低於面值，分紅率普遍較低，大部分在1%以下。僅有基金科瑞經營業績較佳，以13.04%的分紅率高居榜首。但是，結合封閉式基金的高折價情況，具備分紅能力的基金品種就具備較大的價值。因為高折價，購買封閉式基金相當於以六七折價格直接購買市場股票，其分紅率就會有所放大。

內部收益率揭示基金價值

理論上，封閉式基金臨近到期時，價格會向其凈值靠攏。那麼，投資目前普遍高折價的封閉式基金，就有可能獲得較高的投資收益。因此，假設凈值不變，引入內部年收益率指標，以到期進行清算獲取收益對封閉式基金進行絕對估值，估值方法採用現金流貼現法，計算基金價格向凈值回歸過程中的投資價值。統計顯示，內部收益率指標與存續期、基金份額和折價率關聯度較大。存續期短的小盤基金，折價率在12%－25%，內部收益率較高；相反，存續期較長的大盤基金，折價率在35%－47%，內部收益率較低。

某項目期初投資200萬，以後的10年每年都有30萬的現金流，求該項目的內部收益率（IRR）。（註：利率插值區間寬度小於1%即可）

解答：

內部收益率（IRR），是指項目投資實際可望達到的收益率，實質上，它是能使項目的凈現值等於零時的折現率。

-200+[30/(1+IRR)+30/(1+IRR)^2+....+30/(1+IRR)^10]=0 , IRR=8.14%

注意：很多解答給出的結果為IRR=11.923%，將其代入上式后結果為-29.96。將IRR=8.14%代入上式后結果為0.0375。另外，用Excel函數IRR求得結果為8.14%。