三角級數

形的級數稱為正交函數級數，其中сn是和x無關的實數,{φn(x)}是在某固定區間【α,b】上正交的函數系，特別當正交函數系是【0,2π】上的三角函數系時，相應的級數可寫作

()

稱角級。式αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是與x無關的實數，稱為三角級數(1)的係數。

三角級數(1)還可以寫成下面複數形式的級數：

(2)

式中係數（叿n表示сn的共軛複數）。級數(2)的部分和Sn理解為

如果三角級數(1)對一切實數x都收斂，那麼(1)表示了實數軸上的一個周期為2π周期函數ƒ(x),即ƒ(x+2π)=ƒ(x)對一切x∈(- ∞，∞)都成立。這是因為(1)中每一項都是周期為2π的周期函數。但是實際問題往往是，對給定的函數ƒ，如果它是具有周期2π的周期函數，需要把它表示成三角級數(1)。19世紀初，法國科學家J.-B.-J.傅里葉在研究熱的流動時，為了求解熱方程，首先就提出了這個想法。他的設想，雖然從現在的觀點看，缺乏理論的嚴謹性，但卻是人們對三角級數進行研究的出發點，對於近代數學以及物理、工程等許多學科都有著深遠的影響。

如果三角級數(1)一致收斂於連續函數ƒ(x),那麼用coskx或sinkx去乘級數(1)，再在區間(0,2π)上進行積分，注意到逐項積分的可能性，就得到係數αn,bn與函數ƒ的關係式：

(3)

公式(3)表達的係數αn,bn稱為函數ƒ的傅里葉係數，以ƒ的傅里葉係數為係數的三角級數就稱為ƒ的傅里葉級數。上面的事實說明：一致收斂於函數ƒ的三角級數必為ƒ的傅里葉級數。

對於給定的周期函數ƒ(x)，如果ƒ是可積的，那麼從(3)式仍然可以得到αn，bn，從而得到相應的傅里葉級數(1)。這就建議人們去研究ƒ 的傅里葉級數是否收斂於ƒ以及有關的許多問題。從19世紀到現在，傅里葉級數的理論逐步得到建立，已成為三角級數理論中的一個基礎分支，也是一個具有廣泛應用的工具學科（見傅里葉級數）。

傅里葉級數的性質，由函數ƒ可以通過(3)進行研究。自然要問，任意的三角級數(1),是否為某函數的傅里葉級數呢？這個問題的答案是否定的。因為根據傅里葉係數的性質，傅里葉係數αn,bn必須滿足條件

由此可知係數不趨於0的三角級數不可能是傅里葉級數，例如是三角級數，而不是傅里葉級數。

那麼係數αn,bn趨於0的三角級數(1),是否為傅里葉級數呢？下面的例子說明，它的係數趨於0，而且級數處處收斂於某函數ƒ(x)，但因

在原點附近不可積，公式(3)不成立，所以上述三角級數不可能是ƒ(x)的傅里葉級數。進一步可以證明，上述級數不可能是傅里葉級數。

三角級數(1)的共軛級數是

(4)

(1)和(4)分別是單位圓(｜z｜≤1)內冪級數

(5)

當z=eix(x為實數，i為虛單位)時的實部和虛部。所以三角級數(1)和它的共軛級數(4)的性質正好反映了冪級數(5)表示的解析函數在單位圓邊界附近的性質。

值得注意的是，傅里葉級數的共軛級數未必是傅里葉級數。例如，級數

是傅里葉級數，而它的共軛級數卻不是傅里葉級數。但是可以證明，如果級數(1)是某函數ƒ的傅里葉級數，並且|ƒ|p是可積的，其中p>1,那麼它的共軛級數(4)也是傅里葉級數。

一般的三角級數，由於不存在關係式(3)，因此增加了它的複雜性。到目前為止，人們對它的了解還是十分初步的。值得注意的是，三角級數往往可以提供許多奇特的函數，這對數學理論的基礎研究，有著重大的意義。

例如，用所謂F.里斯的無窮乘積

(6)

逐項乘得的三角級數，只要正整數nυ滿足條件且係數那麼(6)乘得的三角級數幾乎處處收斂於0，而它的係數卻不全為0。

又例如缺項很多的三角級數

(7)

當它的缺項滿足條件時，稱為阿達馬缺項三角級數。它具有很奇特的性質：要麼幾乎處處收斂於一個平方可積函數，要麼幾乎處處不收斂，如屬後者，則它不是傅里葉級數。

中國在三角級數方面開展研究最早的是陳建功。他從1928年開始就在日本《東京皇家科學院學報》發表關於正交函數級數的文章，他於1930年在日本岩波書店出版的《三角級數論》是國際上三角級數論方面較早的專著之一。