解析集

[coherent analytic sheaf]

凝聚解析層是在解析空間 (X,)上 模的凝聚層。稱一空間(X,) 為凝聚空間(coherent space)，如果 是環的凝聚層。代數閉域上的任一解析空間是凝聚的。在這樣的空間(X,) 上的凝聚解析層的最重要的例子是局部自由層（即一局部同構於層 的解析層）以及一解析集 的理想層(sheaf of ideals)，即 Y 上等於 0 的解析函數的芽層。

如果 是在一解析空間(X,) 上的凝聚解析層，那麼當 X 可分時，它的截面的空間 (X,) 賦予一自然拓撲而成為弗雷歇空間，當= 時，這個拓撲與緊急上解析函數的一致收斂拓撲是相同的。在這種情形下，變為一弗雷歇層，即對任意開集，限制映射(V,)→(U,)是連續的。一凝聚層的解析同態 →誘導一連續性映射(X,)→(X,)。如果 是 X 上的一凝聚解析層又 M 是，x∈X的一個子模，那麼對 X 的任意鄰域 U 子模在 (U,)中是閉的。上同調空間H(X,) 也有一自然拓撲，一般來說當 時它不是可分的（它們是弗雷歇空間的商空間）。

波萊爾集，在一個拓撲空間中，從所有的開集出發，通過取補集，可數並，可數交等運算，構造出來的所有集合，統稱為這一個空間中的波萊爾集。波萊爾集可以分成很多的層次。通常把開集和閉集定義為第一層。可數的開集的交集，可數個閉集的並集為第二層。依此類推，總的層次超過了可數層。

波萊爾集是由開集或閉集通過取並，取交或者取補形成的拓撲空間中的任何集合。

對於拓撲空間X，X上的所有波萊爾集的集合形成σ-代數，稱為波萊爾代數或波萊爾σ-代數。 X上的波萊爾代數是包含所有開集（或所有閉集）的最小σ-代數。

波萊爾集在測度論中是很重要的，因為任何度量都在該空間上的開集和閉集以及波萊爾集上定義。在波萊爾集上定義的任何測度都被稱為波萊爾測度。波萊爾集和相關的波萊爾層也在集合理論中發揮關鍵性作用。