函數的連續性

描述函數的一種連綿不斷變化的狀態，即自變數的微小變動只會引起函數值的微小變動的情況。確切說來，函數在某點連續是指：當自變數趨於該點時，函數值的極限與函數在該點所取的值一致。

一元連續函數　設函數在附近（包括）有定義。若

，

(*)亦即：對任給，必有δ>0存在，使當時，恆有，則稱在處連續,α為ƒ(x)的連續點。

如在(*)中，改為或,即限定,則稱處左連續或右連續。顯然處連續的必要充分條件為它在α處左、右都連續。

如存在，但或沒有意義，則稱在α處為可去間斷（可去不連續）,因為這時只要改變或補充定義使其等於A就可使它變得在α處連續；因此，這種不連續常常算作是連續的。如果時，則稱ƒ(x)在α處有第一類間斷，稱為其躍度。不屬於上述情況的不連續點都稱為第二類間斷。

如果ƒ(x)在一開區間內每一點都連續，則稱ƒ(x)在開區間內連續。ƒ(x)在一閉區間上連續是指：在開區間內連續，而在α處右連續和b處左連續。

由此可確切定義幾何名詞連續曲線。設平面曲線 C可寫成參數方程

其中都是上的連續函數，則稱C是連續曲線。此定義顯然可推廣到空間曲線甚至一般的n維空間中的曲線上去。

連續函數的性質

① 如都在處連續，則， （只要)也在處連續。

② 如處連續，且，則必在的某一小δ鄰域（即）中，不變號，即與同號。

③ 在閉區間上的連續函數，必有上界和下界，且有最大值和最小值，並能取最小值和最大值之間的一切中間值。

還可證明，所有初等函數在其有定義的區間上都是連續的。

設I為一閉或開的區間，如果任給,必有存在，使對I中任何兩點x，，只要，便有，則稱在I上一致連續。關於一致連續性有下面的重要定理：在閉區間上的連續函數一定在該區間上一致連續。這一定理有時稱作康托爾定理。

多元連續函數　設為一n元函數，這裡為n維向量或n維空間中一點，而為一定點。如果(1)式成立，亦即對任給ε>0，必有δ>0存在，使當

或者

函數的連續性

時，恆有

,則稱在α處連續。也可類似地定義在n維區域G中連續和一致連續。不過，當α是定義域G邊界上的一點時，在上面定義中要限制x在G及其邊界上。

一元連續函數的上述性質都可推廣到多元函數上來，康托爾定理這時也成立，不過在其中區間I要換成有界閉區域。和連續曲線類似，也可定義連續曲面等等。

以上連續函數的定義也可推廣到復變數的複函數上來（見複變函數）。

連續函數的定義還可推廣到一般抽象的拓撲空間的情況。設X，Y是兩個拓撲空間,是把X映入Y的一個映射，又如果對於的任一鄰域，存在著α的一鄰域，使

，

則稱ƒ在α點連續。如果ƒ在X中的每一點都連續，則稱ƒ為X到Y的一連續映射。