冪零群
冪零群
在群體理論中，冪零群是“差不多的阿貝爾”群體。這個想法的出現是由於冪零群是可解的，而對於有限的冪零群來說，是可以超解的（supersolvable）。這個概念被俄羅斯數學家謝爾蓋切爾尼科夫在20世紀30年代編輯出來。
和群體的分類一樣，伽羅瓦理論中也出現了冪零群。同樣的，他們也在李群的分類中被突出的顯示出來。
類似術語用於李代數（使用李括弧），包括冪零，下中央系列和上中央系列。
該定義使用這個想法：用自己來解釋群的中央系列。以下是等效的定義方式：
（1）冪零群是具有有限長度的中心繫列的群。
（2）冪零群是一個低級中心繫列在有限步驟之後終止於普通群中的群。
（3）冪零群是一個上中心繫列在有限的步驟之後終止於整個群的群。
對於冪零群，最小的n使得G具有長度為n的中心繫列被稱為G的冪零級；而G被認為是級數n的冪零。 （根據定義，如果系列中有個不同的子群，包括普通的子群和整個群，那麼長度為n。
同樣的，G的冪零群是下中央系列或上中央系列的長度。如果一個群的冪零級最大是m，那麼它有時被稱為群 。
冪零級是0的群是唯一的，並且級別為1的冪零群正是高級的阿貝爾群。
（1）如上所述，每個阿貝爾群都是冪零群。
（2）對於一個小的非阿貝爾群的例子，考慮一個四元群Q，它是一個最小的非阿貝爾p群。它具有階數2的中心，其中心繫列為，，; 所以這是級別為2的冪零群。
（3）所有有限的p組實際上都是冪零群。p群的最大階數是。
（4）兩個冪零群的直接計算結果還是冪零群。
（5）相反，每個有限的冪零群是p組的直接乘積。
（6）海森堡群是非阿貝爾群，但卻是冪零群。
（7）任何場F上的上單位三角形矩陣的乘法組是冪零長度的冪零群。
（8）場F上的可逆上三角形矩陣的乘法組不是一般的冪零群。
之所以叫冪零群，是因為任何元素的“伴隨動作”是冪零的，這意味著對於冪零群G的冪零度n和元素g，函數是由定義的（其中是g和x的換向公式），第n次迭代是冪零的：。
這不是冪零群的定義特徵：是n的冪級的群被稱n-恩格爾群，一般不需要是冪零的。
由於上中央序列中的每個連續因子群是阿貝爾的，並且集也是有限的，所以每個冪零群是具有相對簡單結構的可解群。
級別為n的冪零群的每個子群的等級最多為n；另外，如果f是等級為n的冪零群的同態群，則f的圖像也是等級最多為n的冪零群。
以下陳述等同於有限群，揭示了冪零群的一些有用的屬性：
（a）G是一個冪零群。
（b）如果H是G的子群，則H是的正常子群。這被稱為歸一化，可以簡單地表述為“規範化程序增長”。
（c）G的每個Sylow子群均正常。
（d）G是其Sylow子群的直接產物。
證明：
：通過。如果G為阿貝爾群，則對於任何H，。如果不是，如果不包含在H中，則，所以歸一為H。如果包含在H ，則中含有。因此，存在的子群，和是其亞群。因此，將這個子群撤回到G中的子群，並將其歸一化。（這個證明與p組相同 - 只有當G是無效時， - 所以細節省略。）
：令是除以其順序的不同素數，並且令中的為對於某些並使。由於P是N的正常子組，P是N中的特徵。由於和N是的正常子群，所以我們得到P是的正常子群。這意味著是N的子群，因此，因此我們必須具有，其給出。
：令為不同的素數除以其順序，並且令中的為對於任何t，表示與同構。首先注意，每個在G中是正常的，因此是G的子群。令H為乘積，令，因此H與。特別地，拉格朗日定理意味著H和K的等價於1.通過定義，，因此與同構，等於。再取得到。
：容易獲得與同構，則。因此，的假設也適用於。如果則，所以如果，。通過歸納，是冪零的，所以G是冪零的。
最後一個語句可以擴展到無限群：如果G是一個非零群，則G的每個Sylow子群G都是正常的，並且這些Sylow子群的直接乘積是G中有限階的所有元素的子群。
基本信息
- 外文名
- Nilpotent group
- 學科
- 數學