基本列

基本列(fundamental sequence)亦稱柯西列，是極限存在的數列，也就是滿足柯西條件的數列，即這樣的xn：對任意正整數ε，存在正整數N，使當n，m>N時，有|xn-xm|<ε，反映在數軸上，表示當項的編號無限增加時，基本列中任意兩項之間的距離將會任意地小，不難想像這種點列中的點最終將聚集在某個點的周圍，即收斂於這個點，反之，如果一個點列收斂，編號無限增大的項之間的距離也將任意地小，這就是說：實數列收斂，當且僅當它是基本列，這個結論稱為柯西準則。若一個基本列的所有各項都是有理數，則它為基本有理數列，但基本有理數列不一定收斂於有理數。例如，設en=1+∑k=1(1/(k!))，則enn=1是基本有理數列，但它的極限e是無理數。康托爾(G.F.P.Cantor)注意到基本有理數列與基本實數列之間的這個差別，利用基本有理數列定義實數。康托爾的實數定義，是多種互相等價的實數定義中的一種，主要反映了實數的完備性。基本列的概念可以推廣到R及一般的抽象空間，並用以使這些空間完備化。