留數定理

假設是複平面上的一個單連通開子集， ，是複平面上有限個點，是定義在 的全純函數。如果是一條把 包圍起來的可求長曲線,但不經過任何一個，並且其起點與終點重合，那麼：

如果是若爾當曲線，那麼, 因此：

在這裡，表示在點的留數，表示關於點的卷繞數。卷繞數是一個整數，它描述了曲線繞過點的次數。如果依逆時針方向繞著移動，卷繞數就是一個正數，如果根本不繞過，卷繞數就是零。

以下的積分

在計算柯西分佈的特徵函數時會出現，用初等的微積分是不可能把它計算出來的。我們把這個積分表示成一個路徑積分的極限，積分路徑為沿著實直線從−a到a，然後再依逆時針方向沿著以0為中心的半圓從a到−a。取a為大於1，使得虛數單位i包圍在曲線裡面。路徑積分為：

由於是一個整函數（沒有任何奇點），這個函數僅當分母為零時才具有奇點。由於，因此這個函數在或時具有奇點。這兩個點只有一個在路徑所包圍的區域中。

由於是

在的留數是：

根據留數定理，我們有：

路徑可以分為一個“直”的部分和一個曲線弧，使得：

因此

如果，那麼當半圓的半徑趨於無窮大時，沿半圓路徑的積分趨於零：

因此，如果，那麼：

類似地，如果曲線是繞過而不是，那麼可以證明如果，則

因此我們有：

（如果，這個積分就可以很快用初等方法算出來，它的值為。）

● 路徑積分

● 莫雷拉定理

● 傅里葉變換

● 拉普拉斯變換