流數
1665年牛頓提出的概念
流數(fluxion)
1665年5月20日，英國傑出物理學家牛頓第一次提出“流數術”（即微積分），後來世人就以這天作為“微積分誕生日”。牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統一為兩類演演算法：正流數術（微分）和反流數術（積分），反映在1669年的《運用無限多項方程》、1671年的 《流數術與無窮級數》 、1676年的《曲線求積術》三篇論文和《原理》一書中，以及被保存下來的1666年10月他寫的在朋友們中間傳閱的一篇手稿 《論流數》 中。所謂“流量”就是隨時間而變化的自變數如x、y、s、u等，“流數”就是流量的改變速度即變化率，寫作等。他說的“差率”“變率”就是微分。與此同時，他還在1676年首次公布了他發明的二項式展開定理。牛頓利用它還發現了其他無窮級數，並用來計算面積、積分、解方程等等。牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變數是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變數是無窮小元素的靜止集合。他把連續變數叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內經過的路程(積分法)微積分是研究函數的微分、積分以及有關概念和應用的數學分支。微積分是建立在實數、函數和極限的基礎上的。
《流數法和無窮級數》(Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum)，英國數學家、物理學家、天文學家和自然哲學家牛頓著。撰於1671年。這是牛頓在數學方面的代表作，其中將1666年10月的流數短論進行了擴充。其英譯本於1736年出版，但原拉丁文本直到1779年才出版。牛頓生前一直在利用這部著作，其手稿形式便由於一些數學家借閱而廣為人知。
《流數法與無窮級數》對於牛頓的流數分析方法提供了比《運用無窮多項方程的分析學》更一般、更好的闡述。其前一部分包含了后一本書的擴充，並且包括用於求解代數方程和微分方程的無窮級數法（待定係數法）的詳細討論。接著，以20個正式敘述的問題為標題，相當廣泛地收集了牛頓的級數法和流數法的應用實例。“流數法”反映了這一理論的力學背景，流數被定義為可借運動描述的連續量——流量的變化率。牛頓表述流數法的基本問題為：已知流量間的關係，求它們的流數的關係以及逆運算。在“問題3一一極大值和極小值的確定”中，牛頓給出了下述原理：當一個量取極大值或極小值時，它的流數既不增加也不減少……所以求出它的流數，併合迄今流數等於零。這裡，牛頓的意思是，使f’(x)＝0的點即是f（x）的極值點。他列舉了能用這種方法求解的9個幾何問題，如問題4是作曲線的切線。在該書中，牛頓繼續使用無窮小瞬作為流數計算的基礎，他記時間的瞬為0，它所引起的流量的瞬為， ，…他在具體計算中指出那些含0的項可被看作零而略去
流數法與無窮級數》中還包括兩個積分表。第一個表的標題是：“與直線圖形有關的曲線一覽表”，其中列出了相應的面積能夠通過微分或反微分明確算出的一些曲線。第二個表是：“與圓錐曲線有關的曲線一覽表”，其中列出了一些曲線，其相應的面積能夠通過適當的圓錐曲線下的面積來表示。牛頓列舉了一些面積的計算，以說明他的積分表的應用。
在該著作的一個附錄（1969年才首次發表）中，牛頓發展了一種曲線的“最初與最終比”的幾何理論，後來部分地納入了1687年出版的《自然哲學的數學原理》第一編第一章及後來的《論曲線的求積》中。
流數的出現，成了數學發展中除幾何與代數以外的另一重要分支——數學分析（牛頓稱之為“藉助於無限多項方程的分析”），並進一步進進發展為微分幾何、微分方程、變分法等等，這些又反過來促進了理論物理學的發展。例如瑞士J.伯努利曾徵求最速降落曲線的解答，這是變分法的最初始問題，半年內全歐數學家無人能解答。1697年，一天牛頓偶然聽說此事，當天晚上一舉解出，並匿名刊登在《哲學學報》上。伯努利驚異地說：“從這鋒利的爪中我認出了雄獅”。