阿列夫零

這一概念來自於格奧爾格·康托爾，他定義了勢，並認識到無限集合是可以有不同的勢的。

阿列夫數與一般在代數與微積分中出現的無限(∞) 不同。

阿列夫(aleph)，是希伯來文字母表的第一個字母。

阿列夫數與一般在代數與微積分中出現的無限(∞) 不同。阿列夫數用來衡量集合的大小，而無限只是定義成實數線上的最大的極限或擴展的實軸上的端點。某些阿列夫數會大於另一些阿列夫數，而無限只是無限而已。

阿列夫數的直觀定義並沒有解釋什麼叫“下一個較大的勢”，也沒有證明是否存在“下一個較大的勢”。即便承認對任意的基數都存在更大的基數，是否存在“下一個較大的勢”使得這個基數和“下一個較大的基數”之間不再有其他的基數仍然是個問題。下面的構造型定義解決這個問題：

● ℵ0定義從前，它是一個良序集ℕ的序數；

● 考慮良序集按照某種同構關係劃出的等價類；

● ● 如上定義的等價類有一個特點：可比較，

● 設ℵa已定義且是一良序集的基數，考慮：

● ● ● 由於ℵa是某良序集的基數，這個良序集必存在於某個等價類中；一定還有其他基數為ℵa的良序集，這些良序集必將也存在於某個等價類中（可能與上面的同屬同一個等價類，但不一定）。所有這些等價類將做成一集，記為Z(ℵa)。

● ● ● Z(ℵa)也是良序集。

● ● ● 定義ℵa+1:= card(Z(ℵa))，它是一個良序集的基數。

● ● ● ℵ1是所有可數序數集合的勢，稱為ω1或有時為Ω。這個ω1本身是一個比所有可數序數更大的序數，因此它為一個不可數集。

在了解阿列夫零前，先看一個關於無窮大悖論的故事

基塔：“無窮飯店”是銀河系中心的一家巨大的旅館。它擁有無窮多個房間，這些房間通過黑洞伸展到更高級的時空領域。房間號從1開始，無限制地排下去。

基塔：一天，這個旅店的客房全住進了客人，這時候來了一位飛碟（不明飛行物）的駕駛員，他正要去別的星系。

基塔：儘管已經沒有空房間了，可是旅店老闆仍然給駕駛員找到了一個房間。他不過是把原來住在各個房間里的房客都一一移到高一號的房間。於是左邊第1號房間就空出來給該駕駛員住。

基塔：第二天又來了五對夫婦渡蜜月。無窮飯店能不能接待他們？可以，老闆只不過把每個客人都一一移到高5號的房間中去，空出的1到5號房就給這5對夫婦

基塔：周末，又有無窮多個泡泡糖推銷員來到這家旅館開會。

赫爾曼：能夠理解無窮飯店可以怎樣接待有限數量的新到者，可是它怎麼能夠再給無窮多旅客找到新房間呢？

基塔：很容易，親愛的赫爾曼。老闆只要把每個房間里的客人移到原來號碼兩倍的房間中去就行了。

赫爾曼：對了！這下每個房間里的人都住到雙號房中，餘下的所有單號房間有無窮多個，它們空出來給泡泡糖商人住！

關於無窮大還有很多悖論。計數用的數是無窮大等級中最低一級的無窮數。在整個宇宙中的點數是第二級無窮大數，第三級無窮大數比這要多得多！

德國數學家喬治·康妥發現了無窮大的這種等級，他把這種新型的奇異等級稱為阿列夫零、阿列夫1、阿列夫2等等。關於阿列夫數有很多深刻的神秘性，解決它們是現代數學中最激動人心的挑戰之一。

如所知，任何一個有限集都不能與它的一個真子集建立一一對應的關係。對於無窮集這—點就不成立了。看上去這樣就違反了整體大於局部這一古老法則。確實，一個無窮集可以定義為能夠與它的一個真子集一一對應的集。

無窮飯店的老闆首先表明了由一切計數用的數所組成的集合（這是喬治·康妥稱為阿列夫零的集合）可以與它的某一個真子集一一對應，並餘下一個元素，或者五個元素。顯然，這一程序可以變化，使得從一個阿列夫零集中減去它的一個子集，這個子集也是阿列夫零集，從其餘下的數中就會得到所要的任何有限個數量的元素。

還有一個辦法可以使這一減法形象化，想象有兩根無限長的測量棒並排放在桌子上，把兩棍棒的零端對齊放在桌子中心。兩根棒都刻了線，按厘米計數。兩根棒在右端延伸到無窮遠，所有數都一一對應：0—0、1—1、2—2等等。現在想象把一根棒向右移動n厘米。移動以後，那棍棒上的所有數仍與不動的棒上的數一一對應。如果那根棒移動了3厘米，則棒上教的對應就是0—3、1—4、2—5、……。移動的n厘米代表兩棍棒長之差。不過，兩根棒的長度仍然是阿列夫零厘米長。由於可以讓二者之差n為所要的任何一個值，很明顯用阿列夫零減阿列夫零就是一個不確定的運算。

飯店老闆最後施的策略就是打開無窮多個房間。這表明如何用阿列夫零減阿列夫零得到阿列夫零。讓每一個數與每一個偶數一一對應，則餘下的是一個由全部奇數所構成的阿列夫零集。

由實數所構成的集合形成更高一級的無窮集，康妥稱之為阿列夫1。康妥的輝煌成就之一就是著名的“對角線證明”，它說的是阿列夫1的元素不可能與阿列夫0的元素構成一一對應關係。阿列夫1也就是在一條線段上全部點的數目。康妥證明了這些點怎樣能與一條無限直線上的點一一對應，怎樣與一方塊上的點、與一無限大平面上的點；與一立方體中的點、與無限大空間中的點一一對應，如此下去還可以與超立方體或更高維空間中的點一一對應。阿列夫1又稱為“連續統的勢”。

阿列夫2是一切可能的數學函數——連續函數和不連續函數的數目。因為任何一個函數都可畫為一曲線，把“曲線”取廣義以包括不連續曲線，則阿列夫2就是一切可能的曲線數目。同樣，如果所指的曲線是在一張郵票上，或者在一個無窮空間里，或者在一個無窮超空間里的全部曲線，這一切都沒有問題，仍是阿列夫2。康妥還證明了阿列夫2不可能與阿列夫1一一對應。

當一個阿列夫數被升級為它本身的冪，則產生一個更高級的阿列夫數，它不能與產生它的阿列夫數一一對應。因此，阿列夫數的階梯向上是無窮的。

在阿列夫數之間有沒有什麼超限數？比如說，有沒有一個數比阿列夫零大、比阿列夫1小？康妥確信不存在這種數。他的猜測成為著名的廣義連續統假設。

1938年，哥德爾證明標準集合論與不存在中介的超限數假設是一致的。1963年，保羅·科恩證明，如果人們假定存在中介數，這也不與集合論矛盾。簡言之，連續統假設是由表明它是“不可判定的”來判定的。

科恩的研究結果是：集合論現在分為康妥型和非康妥型的。康妥型集合論是假設在阿列夫數之間沒有中介數。非康妥型集合論是假定有無限多個中介數。情況類似於幾何學中，發現平行線假設不能被證明后，幾何學分成了歐氏幾何和非歐幾何一樣。

希望學習更多關於這些神秘的超限數知識的學生可以閱讀愛德華·卡斯納和詹姆斯·紐曼著的《數學與想象力》第二章“古格爾之後”和《科學美國人》1966年三月號數學遊戲部分

阿列夫(aleph)，是希伯來文字母表的第一個字母。