合同矩陣

合同矩陣：設A,B是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得

則稱 方陣A與B合同，記作。

在線性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關係。一般在現代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中。二次型用的矩陣是 實對稱矩陣。兩個 實對稱矩陣合同的 充要條件是它們的 正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣 等秩。

合同關係是一個等價關係，也就是說滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身合同；

2、對稱性：A合同於B，則可以推出B合同於A；

3、傳遞性：A合同於B，B合同於C，則可以推出A合同於C；

4、合同矩陣的 秩相同。

矩陣合同的主要判別法：

設A,B均為複數域上的n階對稱矩陣，則A與B在複數域上合同等價於A與B的秩相同.

設A,B均為實數域上的n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負特徵值的個數相等）。

主條目：正定二次型

半正定二次型：其對應的對稱矩陣在實數域內可以合同到一個對角線元素只由0和1構成的對角矩陣。

一個二次型是半正定二次型，當且僅當它的正慣性指數等於它對應矩陣的秩。

正定二次型：其對應的對稱矩陣在實數域內合同於單位陣。

一個n元二次型是正定二次型，當且僅當它的正慣性指數是n。正定二次型對應矩陣一定是可逆矩陣，且行列式大於0。

同樣的可以定義半負定、負定和不定的二次型。

1855 年，埃米特(C.Hermite,1822-1901) 證明了其他數學家發現的一些矩陣類的特徵根的特殊性質，如現在稱為埃米特矩陣的特徵根性質等。後來，克萊伯施(A.Clebsch,1831-1872) 、布克海姆(A.Buchheim) 等證明了對稱矩陣的特徵根性質。泰伯(H.Taber) 引入矩陣的跡的概念並得出了一些有關的結論。

在矩陣論的發展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849-1917) 的貢獻是不可磨滅的。他討論了最小多項式問題，引進了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，並討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質。

1854 年，約當研究了矩陣化為標準型的問題。 1892 年，梅茨勒(H.Metzler) 引進了矩陣的超越函數概念並將其寫成矩陣的冪級數的形式。