歐幾里得第五公設

歐幾里得第五公設(Euclid fifth postulate)是創立非歐幾何的經典命題，古希臘數學家歐幾里得(Euclid)的《幾何原本》第一卷中列舉了23個定義、5條公設、5條公理，由此推證出48個命題。第五條公設的全文如下：“若兩條直線被一直線截得的一組同側內角之和小於二直角，則適當延長這兩條直線，必在和小於二直角的一側相交。”此公設與其他4條公設、5條公理相比，不但比較複雜而且也不顯而易見。歐幾里得用第五公設證明命題也出現的較晚，直到命題29才第一次引用第五公設，23個定義中平行直線的定義也排在最後，因此，人們認為歐幾里得這樣做，是一時證明不出第五公設，不得已而為之，並不認為第五公設是不可證明的。

《幾何原本》問世后，試證第五公設的活動也即開始，所謂證明第五公設，就是用前4個公設、5個公理以及由它們推證出的命題來證明第五公設。人們陸續給出各種證明，但都犯了同一種錯誤：在論證過程中不知不覺地引進了未加證明的新假設。因此，這種“證明”並沒有減少公理，只不過用第五公設等價的新公理代替第五公設而已。例如，古希臘數學家普羅克洛斯(Proclus)的證明中引進了新假設：“兩平行直線間的距離是有限的。”

1795年，英國數學家普萊費爾(J.Playfair)在《幾何原理》一書中使用等價命題：“兩條相交直線不能平行於同一條直線”，後來又發展成“在平面上，過直線外一點只能作一條直線與已知直線平行”。這就是目前中學課本中使用的平行公理，通常稱為普萊費爾公理。法國數學家克萊羅(A.-C.Clairaut)引進的假設是“若四邊形有3個角是直角，則第4個角也是直角”(1741)。義大利數學家薩凱里(G.Saccheri)在1733年出版的《免除所有污點的歐幾里得幾何》中，試圖使用反證法證明第五公設：假定第五公設或其等價命題不成立，由此導出矛盾。薩凱里考慮如下的四邊形ABCD：相鄰的∠A與∠B都是直角，且.不用第五公設可證出.於是有3種可能：

1.∠C和∠D都是直角(直角假設)。

2.∠C和∠D是相等的鈍角(鈍角假設)。

3.∠C和∠D是相等的銳角(銳角假設)。

其中直角假設與第五公設等價。薩凱里假定直角假設不成立，希望由此導出矛盾，薩凱里很容易否定了鈍角假設，然後，假設∠C與∠D是銳角時，推出了一系列令人難以置信的結論，例如，他證出：過一直線a外一點M的所有直線可分成兩類，一類與a有公共點，另一類與a沒有公共點，而這兩類直線的分界直線是與a沒有公共點且與a越來越逼近的漸近線，諸如此類的結論是超出當時人的想象的，雖然一直沒有引出矛盾，但他認為這些結論與人的經驗不相容，而斷定銳角假設不成立，於是他認為證明了第五公設，其實薩凱里在銳角假設下所推出的結論表明，在歐幾里得《幾何原本》中，可以用直角假設代替第五公設而得出歐幾里得幾何學，也可以用與第五公設相矛盾的銳角假設代替第五公設而得出與歐氏幾何不同的新幾何學，薩凱里沒有看出這一點，失去了發現新幾何學的機會。

德國數學家朗伯(J.H.Lambert)考慮有3個直角的四邊形，對於第4個角，從邏輯上可作出直角、鈍角、銳角三種假設，他看到直角假設等價於第五公設，鈍角假設雖然與歐氏幾何矛盾，但是導出的結論卻與球面幾何學的定理相一致，而從銳角假設推證出的結論可用於虛半徑球面上的圖形，他認為，只要一種假設不導致邏輯矛盾，就能提供一種幾何學。

薩凱里、朗伯等人都因為試證第五公設而成為非歐幾何的先驅者，非歐幾何也在試證第五公設的過程中逐漸成熟，最終由德國數學家高斯(C.F.Gauss)、俄羅斯數學家羅巴切夫斯基(Н.И.Лобачевский)、匈牙利數學家波爾約(J.Bolyai)完成。