九點圓

三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點［連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點］九點共圓［通常稱這個圓為九點圓［nine-point circle］,或歐拉圓,費爾巴哈圓.

九點圓是幾何學史上的一個著名問題，最早提出九點圓的是英國的培亞敏。俾幾［Benjamin Beven］,問題發表在1804年的一本英國雜誌上。第一個完全證明此定理的是法國數學家彭賽列［1788-1867］.也有說是1820-1821年間由法國數學家熱而工［1771-1859］與彭賽列首先發表的。一位高中教師費爾巴哈［1800-1834］也曾研究了九點圓，他的證明發表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點的性質》一文里，文中費爾巴哈還獲得了九點圓的一些重要性質［如下列的性質3］,故有人稱九點圓為費爾巴哈圓.

任意三角形三條高線的垂足、三邊中點以及頂點與垂心的三條連線的中點，共九點都在半徑為(三角形外接圓半徑)的圓上，且圓心是外心與垂心所連線段的中點。這個圓稱為九點圓，這是龐斯萊命名的。

數學家歐拉在1765年就發現了九點圓，因此人們稱之為“歐拉圓”。這是幾何學中很著名的問題，在18世紀與19世紀之交已廣為流傳。1804年英國的培亞敏俾凡在雷榜《算理之庫》卷一第十八章中，正式提出“九點”問題，布德衛斯與韋唐給出了證明。1821年格蓋尼和1822年彭色列先後正式發表這一問題。1822年德國人費爾巴哈在《直角三角形的一些特殊點的性質》里，發表了自己的證法，並且說九點圓與內切圓及三個旁切圓相切。這就是人們通常所稱的“費爾巴哈定理”。1827年維茲在《哲學雜誌》發表一篇論文，對九點圓進行了比較詳細的論述。

如圖1所示，△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點為L。證法為以垂心H為位似中心，為位似比作位似變換。

連結HL並延長至L'，使；做H關於BC的對稱點D'。

顯然，，所以，從而A，B，D'，C四點共圓。

又因為BC和HL'互相平分於L，所以四邊形BL'CH為平行四邊形。故，從而A，B，L'，C四點共圓。

綜上，A，B，C，D'，L'五點共圓。顯然，對於另外兩邊AB，AC邊上的F，N，E，M也有同樣的結論成立，故A，B，C，D'，L'，F'，N'，E'，M'九點共圓。此圓即△ABC的外接圓⊙O。

接下來做位似變換，做法是所有的點（⊙O上的九個點和點O本身）都以H為位似中心進行位似比為1/2的位似變換。那麼，L'變到了L（因為），D'變到了D（因為D'是H關於BC的對稱點），B變到了Q，C變到了R（即垂心與頂點連線的中點）。其它各點也類似變換。O點變成了OH中點V。

位似變換將圓仍映射為圓（容易用向量證明），因此原來在⊙O上的九個點變成了在⊙V上的九個點，且⊙V的半徑是⊙O的一半。

這就證明了三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點都在一個圓上。

例如:

1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

2.九點圓的圓心在歐拉線上，且恰為垂心與外心連線的中點;

3.三角形的九點圓與三角形的內切圓，三個旁切圓均相切［費爾巴哈定理］.

4.九點圓是一個垂心組共有的九點圓，所以九點圓共與四個內切圓，十二個旁切圓相切.

5.九點圓心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四點共線且