混合有限元法

混合有限元法(mixed finite element method)是一種有限元法，是基於 混合變分原理的有限元方法。混合有限元法的特點是同時選擇兩個基本未知函數，即位移函數和力函數。應用混合能量原理推導出混合有限元法基本方程。

在混合變分原理中，未知函數除函數值本身外還有函數的導數，於是，混合有限元方法不僅要計算函數本身的近似值，同時也計算導數的近似值，因此適於需要計算函數本身及導數的科學與工程計算問題，高階方程可由降階以後再化為混合變分問題求解，故該方法適於高階方程求解，考慮混合變分問題：

求，使

其中W，M是兩個希爾伯特空間，是定義在上的連續雙線性泛函，且是強制的，是定義在上的連續雙線性泛函， (W的對偶空間)， (M的對偶空間)，設 分別為 的某一有限元子空間，則下述離散問題稱為(1)的 混合有限元逼近：

求，使

若雙線性泛函 是連續且強制的；雙線性泛函 是連續的，且

其中β是正的常數，則問題(2)存在惟一解(φ，λ)，且

條件(3)稱為LBB條件，它取自拉德仁斯卡婭(Лaдыжкенская，О.А.)(1949)，巴布希卡 及布雷齊(Brezzi，F.)(1974)姓名的第一個字母。

混合模型或雜交模型只是在單元水平上採用混合法，而混合分區變分原理則是在結構整體水平上採用混合法。混合分區變分原理在理論上解決了兩類不同區域(余能區、勢能區)和兩類不同單元(應力元、位移元)並存及其耦合和收斂問題，在實際應用上(如求解含有應力集中的問題)是非常成功的。成功的原因是巧妙地把應力元與位移元、奇異元與常規元、解析解與數值解相結合，使每一種方法在各自的分區範圍內發揮其長處，從而獲得整體上的最佳效果。

混合分區變分原理構成了混合有限元法的基礎，其特點是將彈性體劃分為勢能區單元和余能區單元的混合分區體系，以勢能區的節點位移和余能區的應力參數作為基本未知量，應用混合分區變分原理導出分區混合有限元法的基本方程，並用於求解上述混合型基本變數。

應用混合分區變分原理：

=駐值 (4)

式中 是勢能區的位移參數，是余能區的應力參數，是勢能區的總勢能，是余能區的總余能，是余能區和勢能區交界面的附加能量。

由駐值條件

導出混合有限元法的基本方程，解出位移參數 和應力參數。