律學

律學（study of temperament），又稱“音律學”，屬於音響學、音樂、聲學、數學與音樂學的交緣學科。音樂中所有音高方面的研究都涉及律學。例如：旋律音程的結構與音準；調式與和聲理論中的和諧原理；多聲部縱向結合時的各種音程關係；轉調理論；樂器製造及調律中的音準與音位的確定；重唱重奏、合唱合奏中的音準調節；……等等。由於音律是與音樂本身的存在緊密聯繫的，所以儘管律學的研究必須通過物理學與數學的方法，但同時也還必然涉及世界各民族音樂中實際運用的音階、調式，律學在實際中的應用與發展等方面，它最終是為音樂表演的完善、音樂創作的發展、音樂文化的全面提高服務的。

與律學十分類似的學科是色度學，它科學地描述了不同頻率的光對人眼三種視錐細胞不同強度的刺激，然後疊加起來，進而導致人類視覺對不同顏色的感知。色度學是色彩理論的基礎，正如律學是音樂理論的基礎。

不同的律制由不同的生律法決定的，而生律法則與所選擇的音程及其計算方法相關。古代人通過發音體(管、弦）的長度比例關係來理解並計算音程。這比例可用整數比的形式來表示，例如，相距純五度的兩音發音體的長度，較低者的長度：較高者的長度；也可用假分數寫出其比值，例如把3∶2寫成。相距純四度的，其長度比是。相距純正協和的大三度的，其長度比是。這些數，在古代（中國、印度、希臘等古國）都作為長度比用以計算音程。

到近代，人們開始從波長的角度出發,以更精密的方法來研究音高，因而，音程關係也通過頻率比來理解與計算。例如，相距純五度的兩個音，較高者的波長:較低者的波長。由於波長與長度成正比，建立比例式時無需做任何改動，所得的比例數就完全相同，所以古代所用的比例數在近代仍然是有效的，只是對於數字所代表的兩音的高低作了相同的解釋罷了。經過重新解釋以後，同樣這些數字就成為波長比了。進入現代，又轉向微觀的思考，從波長轉到周期函數。這也就是信號與系統里的時域問題了。

無論用長度比、頻率比還是周期比，都有其不便之處：在比較兩個近似音程的大小時，必須通過乘法或除法，不經過一番計算就不能了解何者較大，大多少，而兩音程相加減，則又必須作乘除運算。一個音程擴大到多少倍、劃分成多少等分，則要作乘方、開方運算。隨著數學的發展，19世紀開始將對數概念引進音程的計量，建立了“音程值”概念。計算音程值的方法，是把某音程的頻率比值換算成對數，並依一定意圖制定某種單位名稱。有了音程值以後，音程的大小就可一目了然，音程加減可用音程值加減來算，音程擴大到多少倍或劃分成多少等分也可用簡單的乘除法來算。各國現多以“音分”為音程值的單位，此為英國數學家兼比較音樂學家、語言學家A.J.埃利斯（1814～1890）所創用。十二平均律（等平均律中最常用的律制，等平均律還有印度的八平均律、六平均律等）中八度的音程值為1200音分，每個半音關係之間為100音分。

任何律制中的任何音程的音分數都可根據頻率比通過常用對數算得：先求出比例常數，再把各音程頻率比的常用對數乘以比例常數，即得。比例常數是：八度的音分數÷八度頻率比值2的常用對數。如欲求純五度的音分數，就把純五度頻率比值的對數（0.17609）乘以比例常數：，常將小數四捨五入，作702音分。除音分外，音程值的其他單位制尚有“薩瓦爾”，為法國人F.薩瓦爾（1791～1841）所創用。只要把某音程頻率比值的常用對數乘以1000，即得薩瓦爾數，因此1薩瓦爾≈4音分。“密優”（μ）即“千分八度”，德國音樂學家H.里曼、音樂教育家兼語言學家C.艾愛茲（1848～1924）都使用這種音程值。把八度計量為1000個“密優”，因此1密優=1.2音分。“全音”即“六數八度”，為日本音樂學家田邊尚雄所創用。把八度計量為6個全音，1全音=200音分。

古代任何民族的生律法所用的長度比例，都是一些簡單整數比，這是有它的自然依據的。在每一個樂音內部都存在著一個基音與一系列泛音的音程結構，這一原理雖然遲至17世紀才由法國音樂理論家M.梅爾塞訥（1588～1648）所發現，但這一事實的存在自古已然，對於原始人類的和諧感已經發生作用。只有當兩音的音程關係符合泛音列中佔優勢的音程關係時，才使人感到和諧，古代選作生律法依據的就是這樣一些協和音程。泛音列又稱諧音列、分音列、倍音列，其音程結構與頻率比例、周期比例（振動體長度比例亦然）。

講述泛音列構造時，為使音的號數與各自的比例當數恰能吻合，就不說泛音號數，而說諧音號數。以基音為1號諧音，第一泛音為2號諧音，第二泛音為3號諧音，所有自然產生的生律法所依據的音程都可以在諧音列中找到：1與2號諧音之間的八度距離，是任何生律法中都要用到的，純五度是2、3號諧音的距離，純四度是3、4號諧音的距離，純正協和的大三度是4、5號諧音的距離，阿拉伯音樂慣用的中三度則符合9、11號諧音的距離，等等。只是到了律制發展得較複雜以後，人們為了尋找循環旋宮與自由轉調的可能性，才僅用八度這一種自然音程，而其他所有音程都偏離自然規範，運用開方的方法得到，以建立平均律。故人們稱平均律製為“人工律”，而以往各種依據自然音程的律制則統稱“自然律”。

現代生物學研究表明，人耳的敏感程度與聲音頻率大致呈指數關係。例如：對人類的聽覺來說，220Hz到440Hz之間的差距與440Hz到880Hz之間大致相同。所以我們可以給它們相同的音名。比如C，然後劃分為不同的音域。雖然古人不懂物理和生物，但是他們還是不約而同地依據經驗發現了這個現象。每當聲音的頻率翻倍，我們就記它為一個單位——西方叫“八度”，東方叫均。

現代研究又表明，如果我們同時發出兩個音的話，則波形越有規律，就越好聽。從數學上來說，就是兩個函數疊加周期小，周期就是比值的最小公倍數。同樣地，古人並不懂什麼是機械波。古人並不懂什麼是頻率，但是他們也可以聽出音高。他們發現了2:3很好聽，今天被叫做純五度。

可是，只有兩個音太“單調”了。我們還能不能細分出更多的音呢？

於是，就有了五度相生律：每次升純五度，產生一個音。因此得名。

五度相生律在八度關係倍半相生的前提下，以純五度、純四度兩種音程為生律法的依據而建立的律制，稱為五度相生律。中國古代的三分損益律，古希臘按照畢達哥拉定律法所建立的律制，中世紀阿拉伯人繼承古希臘文明而在“量音學”中採用四度相生法以建立的律制，都是如此。假如從C出發，向上五下四度方向生律5次，向上四下五度方向（這不符合三分損益法，是七弦琴上所用的“反生法”，被隋代鄭譯貶斥為“乖相生之道”）生律1次，就得到如下七聲音階（下徵調新音階）。

假如按中國古代傳統，從黃鐘出發，用“三分損益法”向上五下四度方向輾轉生律11次，就得到如下“三分損益律半音音階”。

在五度相生十二律音階上，半音有兩種：一種是小半音，長度比是256∶243，音程值為90音分，現代記譜作小二度，古希臘稱為“林瑪”；另一種是大半音，長度比是2187∶2048，音程值為114音分，現代記譜作增一度，古希臘稱為“阿波托美”。相應地，全音也有兩種：一種是大全音（在五聲音階里就有的，普通的），長度比是9∶8，音程值為204音分；另一種是小全音（兩個小半音相加所得，無射正律與黃鐘半律的距離），長度比是65536∶59049（即□∶□），音程值為180音分。

三分損益輾轉相生第12次所得的第13律，長度略短（音略高）於首律黃鐘，兩者的長度比是531441∶524288（即□∶□），音程值為24音分。這就是中國古代樂律學中有名的“仲呂上生不及黃鐘”的問題。古希臘的律學研究者也發現了這個音差，稱之為“畢氏音差”。由於這個音差被發現的時代很古，今人稱之為“古代音差”，又稱“最大音差”。京房與錢樂之從這偏差走向60律和360律，何承天與朱載□則為彌合這縫隙而走向平均律。

除了用純八、五、四度生律，再增添純正協和的大三度這一新的音程作為生律法的依據，而形成的律制，稱為純律。純律不同於五度相生律的主要特點是，由於純律（純正協和的）大三度略小於五度相生律的大三度，故在其最普通的自然七聲音階中即已存在小全音與大半音。這小全音是純律大三度與大全音之差，，其長度比是10∶9，音程值為 182音分。這大半音是純四度與純律大三度之差，，其長度比是16∶15，音程值為112音分。

追溯到古希臘，阿希塔斯（活動於公元前 400～前365）已發現長度比為5:4的純律大三度。埃拉托斯賽奈斯（約公元前284～前202）已發現長度比為6∶5的純律小三度。迪季姆（公元前63～公元10）已發現小全音及其與大全音之差，故此音差亦稱“迪氏音差”。這是在純律音階上經常遇到的音差，也是純律與五度相生律兩種律制的相似音程之間的差，長度比是81∶80，音程值為22音分，今人稱之為普通音差或協同音音差。雖然在古希臘已有上述音樂家發現純律音程，但作為律制當時仍以五度相生律為主。

中國古老的傳統樂器七弦琴的演奏及其有關記述中包含有純律的實踐與理論。七弦琴的某幾個徽位上的按音與泛音造成純律音程，在琴的徽位確定及調弦法理論中有所反映（見琴律），但由於琴律的記述年代甚晚，對中國傳統樂律學理論影響較小，未能形成系統的純律數學理論。

印度古代的“22什魯蒂”理論是純律音階的最古老又獨具特色的系統性理論，由文藝理論家婆羅多於約公元前 2世紀間在《樂舞論》中進行了闡述。這一理論並非要求將八度劃分成22個相等的區間以採用22律，而是要求用“什魯蒂”（意為“聽到”，即聽覺能分辨的差異）的數目來區別相近似的音程，其中最受注意的就是大全音與小全音的區別。按此理論，用“4個什魯蒂”以稱呼大全音，“3個什魯蒂”以稱呼小全音，因而普通音差體現為“1個什魯蒂”。印度傳統音階的構成見表5。

今人若無純律的知識，就不能懂得印度音階與大小調之間細微而又涉及風格表情本質的區別，即便在主音未定的情況下，這些音階本身的音程結構都是不盡相同的。

五度相生律

歐洲音樂自從進入多聲時期以來，五度相生律三、六度不協和的問題日益明顯，要求採用純律三、六度成為自然趨勢，於是有人將古希臘的純律理論重新提起。英國修道士W.奧丁頓於1275～1300年間提出了含有純律三度的音列。同一世紀的德國音樂理論家科隆的弗蘭科把純律大小三度作為協和音程。14世紀，法國作曲家兼理論家P de維特里與音樂理論家讓·德米爾（1325～？）分別提出，把純律小六度（8∶5）與純律大六度（5∶3）作為協和音程。到16世紀，義大利理論家G.扎利諾根據純律理論在建立大小三和弦概念的基礎上提出了純律音階。

五度相生律與純律各有一個令人注目的音差，前者為“古代音差”，後者為“普通音差”,大小相近。1726年，法國音樂理論家J.-P.拉莫發現了兩者之間的極小的差距，稱之為“小微音差”。此音差的長度比為32805∶32768（即），音程值為2音分。凡相距八個純五度又一個純律大三度的兩音之間便存在這樣一個音差，利用它可以進行律的替換。回顧三分損益律的夷則正律到黃鐘半律之間的音程（384音分），與純律大三度（386音分）相比，其差異就是如此，故在古代音樂家的聽覺中，這兩律是協和的，這種轉化也給中國古代鐘律帶來純律因素。

由於純律音階一經轉調就到處出現大全音與小全音的差異，使律制變得十分複雜，在鍵盤樂器上形成錯綜的式樣。為消除這一矛盾，15、16世紀歐洲有人提出“中庸全音調律法”，把大、小全音加以折衷平均。西班牙作曲家兼理論家B.拉莫斯·德·帕雷哈（1440～1521）在其1482年的著作《音樂實踐》中已記述了中庸全音律在當時的使用情況，到16世紀初，德國管風琴演奏家A.施利克（約1460～1521？）所著《管風琴製造者及管風琴家之鏡》（成於1511年）一書從理論上明確提出。這一調律法的優點在於和弦發音和諧，因而在歐洲中世紀至近代的鍵盤樂器上盛行達數百年之久。其缺點是能用的調域有限，只能適應7個大調和4個小調，當樂曲轉調超出這範圍時，音階中就出現顯著不準的音程，俗稱“狼音”。這種局面只有十二平均律才能解救。

中立音程的出現可追溯到古希臘。希臘人在歌唱的伴奏中有時將自然四音列加以變化，構成“變音四音列”；以後阿希塔斯提出將四音列中的半音縮小為近似音，後來再行縮小，在相距半音的兩音中插入另一音，它與左右兩音都距離約音，處於中立位置，形成“四分音四音列”。

阿拉伯人在中世紀繼承古希臘文明，在琵琶式的撥弦樂器烏德上以純四度關係定弦並使用四音列。烏德上的中指音位比空弦高小三度，但其音高游移。習慣上把其中較低的稱為“古代中指”，較高的稱為“波斯中指”，出於古老的貝都因民族的傳統聽覺要求，常常還游移到更高的音位。8世紀時，烏德名手扎爾扎爾（?～791）將此要求確定為一個新的中指箍位，位置介於小三度與大三度之間，稱為“扎爾扎爾中指”。後來，9～10世紀時的A.N.法拉比與11世紀時的伊本·西納對此音位從律學理論上分別作了規定，前者所提出的理論解釋影響較大。

扎爾扎爾中指箍位的存在使阿拉伯音階在音律上以包含中立音程為其特徵，介於大、小三度之間的音程稱為“中三度”，介於大、小六度之間的音程稱為“中六度”。但這種實用律制與根據傳統四度相生法所建立的理論律制，無論在音準上還是數理上，都不一致；即使在13世紀波斯音樂理論家薩菲·丁根據四度相生法把律數增加到17以後，兩者的分歧和抵觸仍無法消除，將獨具特色的阿拉伯調式納入17律制體系的結果是削足適履，阻抑了阿拉伯音樂特有風格的發揮。直到1888年，阿拉伯音樂家兼數學家M.穆沙加提出用24平均律音程來模擬中立音程，才使中立音程得以掙脫五度相生律與純律強加於它的桎梏而施展其風格與表情特色。

十二平均律與二十四平均律的建立，用現代數學術語表述就很簡單：為了把八度音程均勻地分成12個相等的間距，就應將八度的頻率比值（2）開12次方，方根就是平均律半音的頻率比值，再開平方就得到平均律1/4音的頻率比值；但在歷史上，這是以建立等比數列概念與掌握開方技術為前提的，曾經經歷了漫長的探索。

不同的樂系，從各自的自然律傳統出發，分別經過艱辛的探索歷程，殊途同趨於相仿的平均律制。在中國，是從三分損益律的傳統出發，為彌合古代音差的縫隙，由朱載□在16世紀後半葉（1584年以前）提出了十二平均律的精密數據（新法密率）。在歐洲，是在純律大量實踐的基礎上，為了排解普通音差所造成的繁雜和中庸全音律所遇到的困難，由荷蘭數學家兼工程師S.斯台文（1548～1620）與法國音樂理論家梅爾塞訥先後在16世紀末、17世紀初提出了十二平均律的數據。在阿拉伯樂系，則從長期運用中立音程的傳統出發，為了解決中立音程的實際演奏與固有理論律制的抵觸，由穆沙加在1888年提出二十四平均律律制，將十二平均律包含在內作了進一步的發展。

人們接受平均律，並非著意於用它取代、排斥、掃除自然律，而是由於它近似自然律，它的各種音程可以當作自然音程來感受。在實踐中，平均律是作為各種不同性質的自然律的簡便易行的仿製品、代用品而通用於世，並在實際演唱演奏中隨時予以必要的調節；在理論上，平均律音程提供了一種方便的尺度（或以平均律半音為100，或以平均律全音為1），以簡捷明了地量度與比較各種各樣的自然律音程，並成為音律測定與計算中的數學框架。

律學對於當前的音樂實踐與音樂學研究仍在發揮作用。民族音樂研究中，在測音分析的基礎上，對某些地區、民族的音樂中存在的特殊音程給予律制的解釋，找出數理的依據，從而指導民族多聲音樂體制的建立與發展，探索既便於定音樂器演奏又體現民族民間音樂特有風格的新律制。在各民族音樂文化充分交流相互吸收的過程中，突破傳統和聲學在調式音律方面的局限性，建立能夠容納不同樂系的音階、音程、音律、調域、調式的綜合體系。在合唱合奏中，協調多種律制之間的關係，使音樂織體層次分明，音響豐滿和諧，音調富於性格，調域變化靈活。