希爾伯特公理
1899年德國希爾伯特提出的公理
完整的歐幾里得幾何公理，是德國數學家希爾伯特(Hilbert，1862—1943)於公元1899年首先提出的．其內容是：基本概念（原始概念）：(1)基本對象：點；直線；平面．(2)基本關係：點在直線上，點在平面上（屬於、通過、……均為在……上的同義語）；一點在另兩點之間；線段合同，角合同．
Ⅰ1對於任意兩個不同的點A、B，存在著直線a通過每個點A、B．
Ⅰ2對於任意兩個不同的點A、B，至多存在著一條直線通過每個點A、B．
Ⅰ3在每條直線上至少有兩個點；至少存在著三個點不在一條直線上．
Ⅰ4對於不在一條直線上的任意三個點A、B、C，存在著平面α通過每個點A、B、C．在每個平面上至少有一個點．
Ⅰ5對於不在一條直線上的任意三個點A、B、C，至多有一個平面通過每個點A、B、C．
Ⅰ6如果直線a上的兩個點A、B在平面α上，那麼直線a上的每個點都在平面α上．
Ⅰ7如果兩個平面α、β有公共點A，那麼至少還有另一公共點B．
Ⅰ8至少存在著四個點不在一個平面上．
Ⅱ1如果點B在點A和點C之間，那麼A、B、C是一條直線上的不同的三點，且B也在C、A之間．
Ⅱ2對於任意兩點A和B，直線AB上至少有一點C，使得B在A、C之間．
Ⅱ3在一條直線上的任意三點中，至多有一點在其餘兩點之間．
Ⅱ4設A、B、C是不在一條直線上的三個點；直線a在平面ABC上但不通過A、B、C中任一點；如果a通過線段AB的一個內點，（①線段AB的內點即A、B之間的點． ）那麼a也必通過AC或BC的一個內點(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．
Ⅲ1如果A、B是直線a上兩點，A′是直線a或另一條直線a′上的一點，那麼在a或a′上點A′的某一側必有且只有一點B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．
Ⅲ2如果兩線段都合同於第三線段，這兩線段也合同．
Ⅲ3設AB、BC是直線a上的兩線段且無公共的內點；A′B′、B′C′是a或另一直線a′上的兩線段，也無公共的內點．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那麼AC≡A′C′．
Ⅲ4設平面α上給定∠(h，k)，在α或另一平面α′上給定直線a′和a′所確定的某一側，如果h′是α′上以點O′為端點的射線，那麼必有且只有一條以O′為端點的射線k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．
Ⅲ5設A、B、C是不在一條直線上的三點，A′、B′、C′也是不在一條直線上的三點，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那麼∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．
過定直線外一點，至多有一條直線與該直線平行．
Ⅴ1如果AB和CD是任意兩線段，那麼以A為端點的射線AB上，必有這樣的有限個點A1，A2，…，An，使得線段AA1，A1A2，…，An-1An都和線段CD合同，而且B在An-1和An之間(阿基米德公理)．
Ⅴ2一直線上的點集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的條件下，不可能再行擴充．
公理代替上述的Ⅴ2：
基本信息
- 提出時間
- 1899年
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