局部環

設R為交換含幺環。若R僅有一個極大理想m，則稱R（或）為局部環。域稱為R的剩餘域。

若R中僅有有限個極大理想，則稱之為半局部環。

一個局部環上帶有一個自然的m-進拓撲，使得R成為拓撲環；其開集由生成。當R為諾特環時，可證明R為豪斯多夫空間，且所有理想皆是閉理想。

設為局部環，環同態被稱為局部同態，當且僅當。

域是局部環。

形式冪級數環是局部環，其中k是個域。極大理想是。

取係數在或上，原點附近收斂半徑為正的冪級數，它構成一個局部環，極大理想表法同上。

凡賦值環皆為局部環。

設R為任意交換環，p為素理想，則相應的局部化是局部環；這也是局部環應用的主要場合。若已是局部環，則。

局部環的商環仍是局部環。

局部環意在描述一個點附近的函數“芽”。設X為拓撲空間，或，且。考慮所有資料，其中U是x的一個開鄰域，而是連續函數。引入等價關係：

且W是x的開鄰域。

換言之，若兩個函數在x附近一致，則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環，其元素稱作在x的連續函數芽，它體現了連續函數在x附近的行為。若滿足，則存在一個x的開鄰域U及連續函數，使得且f恆非零，因此可定義乘法逆元。於是是局部環，其唯一的極大理想是所有在x點取零的函數，剩餘域則是F。

類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形，稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。

在代數幾何與復幾何中，假設適當的有限性條件（例如凝聚性），若一陳述對某一點的芽成立，則在該點的某個開鄰域上皆成立；就此而論，局部環集中表現了一點附近的局部性質。

在交換代數中，局部化的技術往往可將問題化約到局部環上；因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。

一個含么環R被稱作局部環，當且僅當它滿足下述等價條件：

R 僅有一個極大左理想。

R 僅有一個極大右理想。

，且任兩個非可逆元的和仍為非可逆元。

，且對任何元素x,x或必有一者可逆。

，若R中某個有限和是可逆元，則其中某項必可逆。

當上述任一性質成立，則下述三者等同：

• R 的唯一極大左理想。

• R 的唯一極大右理想。

• R 的Jacobson根。

對於交換環，上述定義化為交換局部環的原始定義。