CW復形

單純復形（見拓撲學，同調論）是CW復形的特例。粗略地說，CW復形是由一些（有限多個或無窮多個）胞腔從低維到高維逐層堆積而成的空間。同倫論中往往需要在拓撲空間上定義滿足某種條件的連續映射。這對非常一般的拓撲空間來說很難著手。但對於CW復形，則可以從低維到高維，在一個一個胞腔上給出定義，即採用“逐層擴張”的方式得到所需要的連續映射。如果擴張到某一層遇到阻礙，就產生阻礙上閉鏈，阻礙上同調類等等（見同倫論），這樣就能利用同調來討論關於連續映射的擴張或同倫等問題。

設Χ為豪斯多夫空間,{e}為Χ的一組子空間,α∈Jn(Jn為標號集合）,n＝0,1,2，…,記並且設下列條件成立：

①

②蘊涵n＝m,α＝β；

③ 對任意一對n,α，有連續映射滿足同胚地映為 妏，其中Dn為歐氏空間Rn里的單位球體，Sn-1為 Dn的邊界球面。這時稱集合n＝0，1，2，…構成空間Χ 的一個胞腔剖分，e（α∈Jn）稱為 X 的n維胞腔，稱為粘貼映射,Χn稱為n維骨架。條件①、②、③蘊涵具備了一個胞腔剖分的豪斯多夫空間叫作胞腔復形。

若,則稱e為e的一個直接面。e稱為e的一個面，如果二者之間可以插入一列有限多個胞腔使得前一個為後一個的直接面。

胞腔復形Χ稱為CW復形，假如下列條件滿足：

C：閉包有限──每個胞腔只有有限多個面；

W：弱拓撲──子集S嶅Χ 為閉集當而且僅當對一切n,α,S∩e為e中的閉集。

例如，在球面Sn中，任取一點p∈Sn，令e0=p,en=Sn，則Sn剖分成了只含兩個胞腔{e0,en}的胞腔復形。

又如，在實射影空間RPn中，有一個由n+1個胞腔e0,e1,…,en構成的胞腔剖分，亦即每個維數恰好有一個胞腔。

上面已經提到,CW復形Χ可看作是逐層粘貼胞腔而得到的：Χ0為若干個點；設Χn-1已粘好，用粘貼映射x將Dn粘貼到Χn-1上得到各個e，從而造出Χn，……。

同一個空間可以有不同的胞腔剖分。一般胞腔剖分比單純剖分所含有的胞腔總數可以少得多，這是胞腔剖分的一大優點。