賦值

在計算機程序設計語言中，用一定的賦值語句去實現變數的賦值。

實數（或複數）絕對值在任意域上的推廣。賦值這個概念最初是由J.屈爾沙克於1913年提出的。設φ是定義在任意域F上的一個取非負實數值的函數，並滿足以下三個條件：①，當且僅當，並對某個有；②；③,J.屈爾沙克把這樣的φ稱為F上的一個賦值。按照通行的叫法，后改稱之為F的絕對值。不久以後,A.奧斯特羅夫斯基引進了另一種絕對值φ，它滿足上述的①和②,以及④，並把這種φ稱為非阿基米德絕對值，而把滿足①、②、③而不滿足④的那些φ稱為阿基米德絕對值。實數域R或複數域C的通常絕對值就是它們的阿基米德絕對值。有絕對值的域，記作。

藉助於的絕對值，可以把分析學上的一些概念移植於。設｛｝是的一個序列。若對於每個實數總有一個自然數，使得當時，恆有，則稱{}是()的一個柯西序列。若對於序列｛｝，有，使得當時恆有則稱{}是φ收斂的，而稱為它的極限。若()中每個φ柯西序列都是φ收斂的，則稱F關於φ是完全的，或者說()是完全域(completefield)。實數域或複數域關於通常的絕對值是完全的，而K.亨澤爾的P進數域Qp則是一個非阿基米德絕對值的完全域。對這兩種域作統一的處理，正是發展賦值理論的一個主要出發點。上所有形的級數，稱為F上關於文字的形式冪級數。按照通常的加、乘運算，它們組成一個域，稱為上的形式冪級數域，記作。令，以及，於是得到一個完全域。

當是阿基米德絕對值時，有著名的奧斯特洛夫斯基定理：若關於阿基米德絕對值φ是完全的，則連續同構於或。

非阿基米德絕對值這個概念還可以作如下的推廣。設是一個有序交換群，其運算為乘法，單位元素為1。設0是一個符號，它與Г的元素r，滿足，以及,則稱是的一個賦值。或者說是有賦值的賦值域，記作()。稱為的值群。當Г是正實數乘法群時，φ就是前面所說的非阿基米德絕對值。在賦值域()中，子成一個環，稱為的賦值環。的子環成為某個賦值的賦值環，當且僅當對於F的每個元素，必有或者。

從域F的一個子環A到某個域K的一個同態映射B,如果滿足：①對於,有以及；②B把A的單位元素映射到K的單位元素，那麼B稱為F的一個位。域的每個位，顯然給出一個賦值環；反之，從域的賦值環也不難作出域的一個位。因此，賦值、賦值環和位這三個概念密切相關。位還是代數幾何中的一個重要概念，早在R.戴德金和H.韋伯的經典著作中就有了它的雛型。

賦值的階

設是賦值的值群，是的一個子群。若對於的每個元素，中所有滿足的元素也屬於,則稱為的一個孤立子群。｛1｝和都可以作為Г的孤立子群。以下設｛1｝。由於是有序的,中所有的孤立子群按包含關係成一個全序的集。除本身外的所有孤立子群，按包含關係所成全序集的序型定義為的階。若的值群的階是,就稱是階賦值。因此，所謂一階賦值，就是指值群只有｛1｝為其真孤立子群的賦值。有序交換群的階為1,當且僅當它保序同構於某個由實數所成的乘法群。這個事實表明，一階賦值正是前面所定義的非阿基米德絕對值。

當一階賦值φ的值群為無限循環群時，則φ稱為離散賦值。例如，關於有理數域Q。設p是一個素數，那麼每個有理數都可惟一地寫成的形式，其中是與p互素的整數,。規定，以及。不難驗知,φ滿足賦值的條件，而且是一個離散賦值，稱之為Q的p進賦值。

設()是一個賦值域,K是F的一個擴域，若K有一個賦值ψ，使得對每個,都有，則ψ稱為φ在K上的開拓。關於賦值開拓有存在性定理：F的賦值在F的任何一個擴域上都至少有一個開拓。

如果域有一個拓撲,使得的四則運算關於是連續的，那麼稱為關於的拓撲域，記作()。庫爾雪克意義下的賦值域，是拓撲域的最早例子。

賦值理論也可以從拓撲代數的角度來研究，是基於下述事實。對於有絕對值φ的域F，所有形如｛｝的子集構成零元素的一個基本鄰域族，從而生成F的一個域拓撲。在φ是F的賦值時，情形也相同。對拓撲域作系統的研究始於20世紀30年代初期D.von丹齊克的工作。>

任何拓撲域()只能是連通的，或者完全不連通的。如果是的一個局部緊拓撲，那麼()稱為局部緊域。離散拓撲也是一種局部緊拓撲。僅就非平凡的和非離散的情形而論，局部緊域有一些顯著的性質。首先，每個局部緊域()都有一個絕對值φ，使得由φ所生成的拓撲與相同。其次，還有定理：設()是一個局部緊域。如果它是連通的，那麼它連續同構於R或C（關於通常絕對值的拓撲）；如果它是完全不連通的，那麼它就連續同構於p進數域Qp的一個有限擴域，或者某個有限域K上的形式冪級數域的有限擴域。

O.Zariski and P.Samuel,Commutative Algebra,Vol.2,Springer-Verlag,New York,1960.

O.Endler,valuationTheory，Springer-Verlag,Berlin,1972.