賈憲

賈憲，11世紀前半葉中國北宋數學家。賈憲是中國十一世紀上半葉（北宋）的傑出數學家．曾撰《黃帝九章演演算法細草》（九卷）和《演演算法古集》（二卷），都已失傳。據《宋史》記載，賈憲師從數學家楚衍學天文、歷算，著有《黃帝九章演演算法細草》、《釋鎖算書》等書。賈憲著作已佚，但他對數學的重要貢獻，被南宋數學家楊輝引用，得以保存下來。

賈憲的主要貢獻是創造了“賈憲三角”和“增乘開方法”。增乘開方法即求高次冪的正根法。目前中學數學中的綜合除法，其原理和程序都與它相仿。增乘開方法比傳統的方法整齊簡捷，又更程序化，所以在開高次方時，尤其顯出它的優越性．增乘開方法的計算程序大致和歐洲數學家霍納（公元1819年）的方法相同，但比他早770年。

在中國數學史上賈憲最早發現賈憲三角形。楊輝在所著《詳解九章演演算法》《開方作法本元》一章中作賈憲開方作法圖，並說明“出釋鎖算書，賈憲用此術”。賈憲開方作法圖就是賈憲三角形。楊輝還詳細解說賈憲還發明的釋鎖開平方法，釋鎖開立方法，增乘開平方法，增乘開立方法。

雖然有關賈憲的資料保存下來的並不完整，但從楊輝緝錄的細草中，我們仍然可以發現他的一些獨到的數學思想和方法，主要有以下兩點。

在研究《九章》過程中，賈憲使用了抽象分析法，尤其在解決勾股問題時更為突出，他首先提出了“勾股生變十三圖”。他說：“勾股弦並而為和，減而為較，等而為變，為乘，為段，自乘為積，為冪。”十三名指勾（a）、股（b）、弦（c）、勾股較（b-a）、勾弦較（c-a）、股弦較（c-b）、勾股和（a+b）、勾弦和（a+c）、股弦和（b+c）、弦較和（c+（b-a））、弦和和（c+（a+b））、弦和較（（a+b）-c）、弦較教（c-（b-a））。他完備了勾股弦及其和差的所有關係，說這些關係“有用而取，無用不取，立圖而驗之”，說明他已經拋開《九章》算題本身，並對勾股問題進行抽象分析了。

例如“出南北門測邑方”問，《九章》的方法是：術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之為實，並出南門步數為從法，開方除之即邑方。賈憲的方法是：術曰：余勾乘股，倍之為實並二餘勾為從，開方除不。正是掌握了這一方法，才使他能夠使用純數學的方法改寫《九章》術文，給後人留下公式化的解題範例。在方程術等其他章節的細草中，他也廣泛運用了這種方法。

程序化方法主要是指探究問題的思維程序、過程和步驟。適用於同一理論體系下，同一類問題的解決。賈憲的“增乘開方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地體現了這一方法，比如少廣章有：“今有積一百八十六萬八百六十七尺，問：為立方几何？”這是一道對1860867開三次方的問題。賈憲的方法是：草曰：（1）實上商置第一位得數一百。（2）以上商乘下法置廉一百，乘廉為方一萬，除實，訖。（3）復以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三萬。（4）又乘下法入廉共三百。（5）其方一、廉二、下三退定十。（6）再於第一位商數之次，復商第二位得數二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三萬六千四百，命上商除實，訖餘一十三萬二千八百六十七。（7）復以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四萬三千二百尺。（8）又乘下法入廉共三百六十。（9）其方一、廉二、下三退，如前。（10）上商第三位得數三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四萬四千二百八十九，命上商三尺除實，適盡，得立方一面之數。

用現代表述方式體現為：

下法廉方實商

（1）1000000+00-18608671

+1000000+10000001000000

（2）1000000+1000000+1000000-860867

+1000000+2000000

（3）1000000+2000000+3000000

+1000000

（4）1000000+3000000+3000000-860867

1000+30000+300000-8608672

+2000+64000728000

（6）1000+32000+364000-132867

+2000+68000

（7）1000+34000+432000

+2000

（8）1000+36000+432000-132867

1+360+43200-1328673

+3+1089+132867

（10）1+363+442890

我們注意到這個開立方過程，已經形成了固定的程序。當代學者研究發現，程序化的數學思想方法是中國古代數學的重要特點，而賈憲的工作則使得開方程序系統化、規範化。賈憲的數學方法論，對宋元數學家產生了深遠影響，縱觀“宋元四大家”，莫不從中汲取精髓。

賈憲是否從事過數學教學工作，我們不得而知，但就宋初私學活躍以及數學地位而言，不能排除他傳授數學知識的可能性，“憲運算亦妙，有書傳於世”當可佐證。我們知道，古代學者著書立說目的之一就是教育世人，因此我們有理由探討賈憲的數學教育思想。仔細研究細草，從中可以發現其數學教育思想的閃光之處。

“增乘開方法”的兩例細草中，可以清楚的看到，剔除數字后得到的就是運演演算法則。而且這種細草方式是貫穿其著述（就現存而言）始終的。賈憲之所以這樣做，應該是深受中國古代早已有之的“授人以魚不如授人以漁”的教育思想影響。據現在所知，《黃帝九章算經細草》約成書於1050年前後，此書出版后，在社會上流傳較廣，在一定程度上逐漸代替了《九章算術》。南宋鮑浣之於1200年說：“自衣冠南渡以來，此學(指算學)既廢，非獨好之者寡，而《九章算經》亦幾泯沒無傳矣。近世民間之本，題之曰《黃帝九章》……”這也是當時社會對其數學教育思想的認可。

賈憲在給出“立成釋鎖開方法”之後，又提出“增乘方求廉法”並給出六階賈憲三角，解釋開各次方之間的聯繫。討論勾股問題則先論“勾股生變十三圖”，而後談論問題的解法，給人以清晰的體系感。他的這些嘗試，都體現了對知識綱要的重視。郭書春先生認為，這是賈憲“列出概括性理論”，“是演繹邏輯的一種發展”。體現在數學教育上，注重對知識綱要的概括，也不失為一種良好的教學方法。

現存資料顯示，賈憲沒有涉足劉徽的分數和求微數（即極限理論）領域，他的師兄弟朱吉也曾批評他“棄去余分，於理未盡”。再加上他在《黃帝九章算經細草》中所討論的開方問題未涉及開不盡情況，他甚至把《九章》中有分數解的問題改題設以得整數解。這些跡象表明他的工作是建立在整數集之上的。在此基礎上他提綱挈領的概括了勾股和開方問題，給出了諸多其他問題的一般性解法，從中我們隱約可以看到系統化方法的痕迹。以賈憲的數學知識水平，他不可能不熟知分數，也不會不了解劉徽的求微數思想，只是他對開方開不盡的問題沒有研究透徹。因此在他的著述中才迴避了分數，目的是把自己掌握的數學知識，系統地傳於世人，這在古代數學教育史上是難能可貴的。

發散思維

賈憲討論九章諸類問題時，不是固守前人的思路和演演算法，發現了很多新的計算方法。在均輸章中，他提出了“課分法”、“減分法”，以及用“方程術”求差率的方法；在盈不足章中，他提出了“今有術”、“合率術”、“分率術”、“方程術”、“兩不足術”等方法；在“勾股容方”問中，他提出“勾股旁要法”等等。由此可見，賈憲不僅注重概括理論化的研究方法，同時也身體力行地致力於發散性思維的鍛煉，這對於知識的創新是大有裨益的。賈憲對數學教育的系統化、綱領化、普遍化（抽象化）及思維的多樣化都有一套獨到的見解，許多方面是我們可以借鑒的。

《九章算術》是十一世紀以前中國最著名的數學著作，在其流傳過程中，為其做草的人很多。而在數學理論上有突出貢獻的主要是三位數學家----劉徽（論基礎的奠定）、賈憲（理論水平的提高）和楊輝（理論的基本完善），賈憲起著承前啟後的作用。另一方面，魏晉南北朝興起的數學研究熱潮自唐而中斷，賈憲的數學方法論又激發了宋元的數學研究熱潮，他又起到推波助瀾的作用。具體表現在以下兩個方面。

賈憲對於《九章算術》中提出的問題，抽象分析，揭示數學本質；藉助程序化，講解方法的原理；提綱挈領，梳理知識脈絡；注重知識系統化，避免產生悖論。這些思想方法對宋元數學家有很深的影響。楊輝著《詳解九章演演算法》借鑒了賈憲的抽象和探索成果，對《九章》各題重新纂類。李冶著《測圓海鏡》就繼承併發揚了這些數學方法，建立了一個邏輯嚴密的演繹體系。朱世傑著《四元玉鑒》也用到這些思想方法，成就了我過古代數學史上的巔峰之作。秦九韶著《數術大略》即（《數學九章》）作術而不言具體數字更是師法賈憲，可見其方法論的生命力。當然，這些數學思想方法也並非賈憲獨創，也是歷代數學著述、研究、積累的結果，而賈憲又將其提煉和傳承。

首先，賈憲的“增乘開方法”開創了開高次方的研究課題，后經秦九韶“正負開方術”加以完善，使高次方程求正跟的問題得以解決。加之從李冶的天元術（一元一次或高次方程）到朱世傑的四元術（四元一次或高次方程組）的建立，終於在十四世紀初建立起一套完整的方程學理論，使之成為宋元數學屆最有成就的課題。其次，賈憲三角的給出，開創了高階等差級數求和問題的研究方向，朱世傑從“三角”的每條斜線上發現了“三角垜”、“撒星形垜”等高階等差級數求和公式。第三，“增乘開方法”事實上簡化了籌算程序，並使程序化更加合理，這對後世籌算、捷算乃至於算具的改進是有啟迪意義的。第四，“細草”這一著述形式開創了一種數學研究方法，被後世數學家廣為借鑒。乾嘉學派在保存和整理數學著作時，就曾對一批算書或註釋或細草圖說。

賈憲，男，1940年生於單縣終興鎮，自幼家富，受其舅影響，愛好讀書，少年時即顯露寫作才華。

1958年，年僅18歲的賈憲寫詩一首《為啥雲上紅旗飄》，刊登在《紅旗》雜誌第二期，在《紅旗》雜誌第四期上郭沫若為此詩寫了專門贊語。據《單縣誌》記載：“農民詩人賈憲創作的民歌《為啥雲上紅旗飄》，刊登於1958年的《紅旗》雜誌。郭沫若給予很高的評價，還被錄用為高中語文教材和影片《一日千里》主題歌歌詞。”這首民歌，后被由黨中央宣傳部部長周揚主編的《紅旗歌謠》一書收錄，改題目為《明天要去鬧天宮》，現摘抄如下：

朵朵白雲天空飄，

朵朵雲上紅旗搖，

是不是天兵開了戰，

為啥雲上紅旗飄？

仔細看，仔細瞧，

嘿！社員墾荒在山腰。

頭頂藍天手拿鎬，

駕著雲霧滿山跑。

要和神仙比高低，

喊聲衝破九重霄。

硬石頭上中種五穀，

白雲上面栽仙桃。

太陽出來大吃驚，

嚇得虎狼到處逃。

明天要去鬧天宮，

奪取天河澆仙桃。

（引自《紅旗歌謠》）

當時署名山東單縣民歌。那個時代，個人署名的作品基本上沒有，都寫單位名稱或集體名稱。要知道賈憲的這首詩，當時影響可大了。能在《紅旗》雜誌上發表，了不起！《紅旗》是黨中央的機關刊物，當時與《人民日報》、《解放軍報》被合稱為“兩報一刊”，是黨中央的喉舌。能受到當時文藝界的巨擘郭沫若、周揚等的欣賞，被選入《紅旗歌謠》一書，也是了不起的事情。這首詩，六七十歲的單縣人都知道。

1964年的一天，他的第一本詩集就要由山東人民出版社出版了，並要給他600元稿費。600元，那時可是個驚人的數字。恐怕要相當於現在的兩三萬吧。後來，可能由於爆發了文化大革命，就擱淺了，怪可惜的。他得到了郭沫若、周揚、苗得雨等文壇巨星的幫助，在來往信中給他寫作上的指導，也就因為和這些所謂的大毒草聯繫，賈憲在“文革”到來時被打成“右派”，從此，他的命運一落千丈，沒有找妻，直到現在70歲，而自然也沒有孩子，孤身一人遊盪在大街上，無退休金，無像樣住房，生活貧窮，但痴心不改，仍埋頭寫詩。

賈憲，善於寫民歌體詩歌，不少詩作受陝北民歌信天游的影響。如他寫的《湖南行》：

浪花花水影影幾千秋

母親湘江啊向北流

北流的湘江北流的歌

沒有湘江就沒有新中國

洞庭湖的煙波湘江里的浪

韶山沖出了個紅太陽

湘江里的白帆洞庭湖的舟

花明樓出了個好領袖

摘一朵湘江浪花山川美

花明樓的偉績生國徽

摘一朵湘江浪花綉彩紅

五星紅旗是韶山的血染成

灑一片洞庭煙波情更厚

幾回回雙手抱起花明樓

灑一片洞庭煙雨情更長

幾回回夢裡抱起紅太陽

韶山的紅日花明樓的月

今日的洞庭仍愛唱領袖的歌

花明樓的朝霞韶山的松

湘江兩岸仍愛聽東方紅

回故土莫忘帶一朵湘江浪

改革中他能使家家窮漢變小康

回故鄉莫忘帶一朵花明樓的雲

開放中他能使戶戶窮漢都脫貧

喝一口韶山沖的水能成神

從橘子洲一直能走到天安門

飲一口花明樓的水能成仙

中華大地處處都能綉出新河山

湘江的美酒洞庭湖的杯

莫忘花明樓的革命老前輩

湖畔的高樓啊湘江的燈

小康大款不能忘韶山沖

賈憲，貧窮而不墜志、孤單而不煩悶、憂愁絕不自卑，政治錯誤打到了他、心中的戀人遠離了他，而他永遠懷有一顆真誠的心對待一切，他說：人負我、我不負人，生活負我、我不負生活，詩是我的全部、我是詩、詩是我。

附：訪呂凌飛先生（賈憲作）：

夜穿黃河浪，

千里訪金鄉。

志同灑千秋，

道合情義長。