非阿貝爾規範場

楊振寧和Mills認為這種力場可以用類似於電磁力那樣的理論來描述。

電磁力是由電磁場傳播的。電荷及其運動所形成的電流產生了電磁場，場傳出去后可以作用在遠處電荷和電流上。於是，楊振寧和Mills也設想了一種類似電磁場的別的場來傳遞核力，那就是非阿貝爾規範場。

這個設想看似比較容易。不過，最重要的是，楊振寧和Mills此時極大地推廣了場和荷的含義。他們設想了一種遠為複雜的荷(當然不能再叫電荷了)和它們所產生的場：這些荷和場都不是普通的實數能表示的，它們是一些矩陣。矩陣的乘法是不能交換的，這種乘法的不交換性叫“非阿貝爾”的。因此也叫非阿貝爾規範場。對那些學過物理的人應該說明的是：學過量子力學的人知道，量子理論里力學變數可以表示成矩陣。但這裡說的場和荷表示成矩陣不是由於量子化的結果，而是在經典物理的意義上它們就是矩陣。

楊振寧和Mills所設想的那種古怪的荷叫做"同位旋"。他們把描述電磁場的麥克斯韋理論(這裡需要有大學電磁學的基礎)做了一個優美而且深刻的推廣，得到一個新方程，後來就叫楊-Mills方程。當然比麥克斯韋方程普遍得多也複雜得多了。至於推廣的方法，是依據了一個來自電磁理論的原理，叫做“定域規範不變原理”，這個要複雜多了，已遠非僅用大學的普通物理基礎所能理解的了。

非阿貝爾規範場規範場拉格朗日量可以（傳統地）寫作

Lgf=−14Tr⁡(FμνFμν){\displaystyle \ L_{\mathrm {gf} }=-{\frac {1}{4}}\operatorname {Tr} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })}

其中

Fμν=[Dμ,Dν]{\displaystyle \ F_{\mu \nu }=[D_{\mu },D_{\nu }]}

而跡在場的矢量空間上取。此即為 楊-米爾斯作用量。

注意在這個拉格朗日量中，沒有一個場Φ{\displaystyle \Phi }的變換抵消了A{\displaystyle A}的變換。該項在規範變換中的不變性是前面經典（幾何）對稱性的特殊情況。該對稱性必須被限制以施行量子化，這個過程被稱為規範固定，但是即使在限制之後，規範變換還是可能的。

O(n)規範場論的拉格朗日量現在成了

L=Lloc+Lgf=Lglobal+Lint+Lgf{\displaystyle \ L=L_{\mathrm {loc} }+L_{\mathrm {gf} }=L_{\mathrm {global} }+L_{\mathrm {int} }+L_{\mathrm {gf} }} [2]

楊-Mills的那篇文章是1954年發表的。那時這個理論中還有幾個關鍵的問題不能解決（比如質量問題，量子化和重整化之類，這是些遠為專業的名詞，只有研究這個方向的理論物理博士們才學的）。而且在隨後的六十年代，物理學界對於用場的觀點描述核力是較為悲觀的時期，那時別的觀點在物理學家中佔主流。不過後來，經過幾位物理學家近二十年左右的持續探索，解決了所有原來不能解決的問題。而且，後來找到了別的不同的荷（當時還不知道呢）分別能產生強力和弱力（核力就分這兩種力）。但它們用的數學形式都是類似的，都是楊-Mills理論。不同的是其中矩陣的大小不一樣：有2乘2的、有3乘3的；如果所用的矩陣是1乘1的，那它就是以前的法拉第和麥克斯韋的電磁理論。到了七十年代末，就知道自然界的所有基本作用力--引力，電磁力，弱力，強力中，除引力外的其它三種力都能用楊-Mills場描述。

有的物理學家指出，物理學基本定律可以寫在一件文化衫上（意思是很簡潔）。從牛頓時代開始，物理的主要目標就是描述物質結構、相互作用和運動規律。隨著物理學的進化，這個簡單的目標又進一步被簡化了。因為後來知道物質其實也是場，不過是所謂的“量子場”的一種。因此物理學最基本的定律就是描述各種場的運動和它們之間的作用。現在如果要做那樣一件物理學文化衫的話，可以肯定地說，楊-Mills方程是一定應該寫上的。應該包括如下這幾個內容：

·一個叫Dirac方程的，它描述的是自旋1/2的費米場；

·楊-Mills方程，描述引力之外所有的相互作用場（它已經包含了法拉第-麥克斯韋的電磁理論）；

·愛因斯坦愛因斯坦方程，描述萬有引力。

·或許還應該加個Klein-Gordon方程，它是描述標量場的。這些可以模糊地設想出楊-Mills理論的重要性了。

有些人提出比如這類質疑：有的說楊-Mills理論後面的很多進展不是他們做的，是別的物理學家做的，怎麼還說他們的貢獻那麼大。還有的說楊-Mills方程最初的出發點是“錯的”，怎麼還說那麼重要。前一類疑問很容易解釋。確實，楊-Mills理論在物理上取得這麼大的成功，包括了前後好多位物理學家的貢獻。如Higgs,Veltman,t'Hooft,Gross,Wilczek,Politzer,Weinberg,Salam等。其中好幾位得到了諾貝爾獎。還有數學家，如量子化楊-Mills場的俄國數學家Faddeev和Popov，他們也沒得諾貝爾獎，同樣楊振寧也不是因為提出楊-Mills場得的諾貝爾獎（似乎諾貝爾獎不傾向給理論的數學基礎上的貢獻，而願意給和實驗有直接聯繫的結果，愛因斯坦也不是因為提出相對論得的獎，而是因為解釋光電效應實驗）。

如此多人的貢獻，如果整個是由一個人作出來的，那他的成就和愛因斯坦一樣大了，甚至可以說是超過愛因斯坦！只有愛因斯坦曾經以一人之力建立了相對論。其它的物理理論，如量子力學，特別是後來的量子場論，都是由很多人，有時是經過幾代人很多年的持續努力才建立起來的。不是一人之力能完成的。

Anyway，在規範場這個領域，楊振寧和Mills那篇文章的貢獻是開創性的。至於出發點是“錯的”之類的說法（其實是應用的對象不對，當時實驗上還沒有足夠的線索找到那種正確的荷），顯然是不了解現代物理學的特點，或者是有意給外行造成誤解。這類從一個“錯誤的”出發點先猜出數學理論的例子太多了，甚至可以說是現代物理學進步中的一大特色。如剛才提到的Dirac方程，以現在的眼光看，他當年依據的幾個出發點都是沒道理的。但是，那個方程是對的並且是極其重要的！

再比如，量子力學的薛定鄂方程，他自己最初的解釋也是錯的。類似的例子太多了。從一開始的物理觀點就完全是對的例子很少很少，愛因斯坦的相對論還是那極少見的例子之一。如果他們做到了那樣，那大概也可以說和愛因斯坦一樣偉大了。你要知道，在物理學歷史上，還很少很少或者根本就沒有其他物理學家能和愛因斯坦相比呢（頂多有個牛頓）。