畢達哥拉斯學派

畢達哥拉斯學派認為數是萬物的本原，事物的性質是由某種數量關係決定的，萬物按照一定的數量比例而構成和諧的秩序；由此他們提出了“美是和諧”的觀點，認為音樂的和諧是由高低長短輕重不同的音調按照一定的數量上的比例組成，“音樂是對立因素的和諧的統一，把雜多導致統一，把不協調導致協調。”這是古希臘藝術辯證法思想的萌芽，也包含著藝術中“寓整齊於變化”的普遍原則。

畢達哥拉斯學派認為天體的運行秩序也是一種和諧，各個星球保持著和諧的距離，沿著各自的軌道，以嚴格固定的速度運行，產生各種和諧的音調和旋律，即所謂“諸天音樂”或“天體音樂”。

畢達哥拉斯學派還認為，外在的藝術的和諧同人的靈魂的內在和諧相合，產生所謂“同聲相應”，認為音樂大致有剛柔兩種風格，對人的性格和情感產生陶冶和改變，強調音樂的“凈化”作用。畢達哥拉斯學派偏重於美的形式的研究，認為一切平面圖形中最美的是圓形，一切立體圓形中最美的是球形。據說畢達哥拉斯學派最早發現了所謂“黃金分割”規律，而獲得關於比例的形式美的規律。畢達哥拉斯學派的美學觀點是客觀唯心主義的，對柏拉圖、新柏拉圖主義及文藝復興時期的藝術家產生了深遠影響。

畢達哥拉斯學派的成員都是貴族，他們反對撒摩斯島的古希臘民主制。領頭人畢達哥拉斯生於撒摩斯島。畢達哥拉斯年輕時期，遊歷了很多地方，特別是游訪古埃及和古巴倫等地，學習了一些數學知識，大約在公元前530年回國，開始創建學派。

畢達哥拉斯學派的主張和觀念曾引起撒摩斯公民的不滿，畢達哥拉斯為了避開人們的輿論，只好離開自己出生的本土，逃往希臘的移民區阿佩寧半島，並定居在克羅托那城，重新建立學派。由於比達哥拉斯參與政治活動，後來被殺害。他的門徒散居到希臘其他學術中心，繼續傳授他的教誨達200年之久。

畢達哥拉斯學派把數看作是真實物質對象的終極組成部分。數不能離開感覺到的對象而獨立存在，他們認為數是宇宙的要素。所以，他們很注意研究數，也就開始研究數的理論，研究數的性質，而注重實際的計算。他們還依據幾何和哲學的神秘性來對“數”進行分類，按照幾何圖形分類，可分成“三角形數”、“正方形數”、“長方形數”、“五角形數”等等。

畢達哥拉斯發現了著名的“勾股定理”，據說，畢達哥拉斯為了慶賀自己的業績，殺了一百頭牛。

畢達哥拉斯學派的算術與幾何學有著密切聯繫。他的根據是堆成各種形狀的一堆堆的鵝卵石或石頭，這樣他們就用圖形來表達數————三角形數，正方形數等。起始n個自然數的和，即1/2n（n+1),形成一個三角形數，起始n個奇數的和，即1+3+5+……+（2n-1),形成一個正方形數。但是人們發現，這和畢達格拉斯學派的另一發現有著嚴重的抵觸，那就是正方形的對角線與其一邊的比不能表示為兩個整數之比，因此無法再主張所有的量都有一個共同的度量。某些線和其它線不能通約的問題不僅對畢達哥拉斯學派形成了一個嚴重的絆腳石，而且，後來歷史證明，他在整個希臘幾何學史也是一塊絆腳石。由於人們試圖尋找一種不使算術完全脫離幾何學的解決辦法，這就導致一種新型數的引進，那就是無理數。也正是由於無理數的引入，引發了第一次數學危機。

畢達哥拉斯學派在對數學的發現中，不斷追求“美”的形式。他們認為日、月五星都是球形，浮懸在太空中，這是最完美的立體，而圓是最完美的平面圖。就是曾被譽為“巧妙的比例”，並染上各種各樣瑰麗詭秘色彩的“黃金分割”也是這個學派首先認識到的。

畢達哥拉斯曾旅居埃及，後來又到各地漫遊，很可能還曾去過印度。在他的遊歷生活中，他受到當地文化的影響，了解到許多神秘的宗教儀式，還熟悉了它們與數的知識及幾何規則之間的聯繫。旅行結束后，他才返回家鄉撒摩斯島。

由於政治的原因。他後來遷往位於南義大利的希臘港口克羅內居住。在這裡創辦了一個研究哲學、數學和自然科學的團體，後來便發展成為一個有秘密儀式和嚴格戒律的宗教性學派組織。畢氏學派認為，對幾何形式和數字關係的沉思能達到精神上的解脫，而音樂卻被看作是凈化靈魂從而達到解脫的手段。

有許多關於畢達哥拉斯的神奇傳說。如，他在同一時間會出現在兩個不同的地方，被不同的人看到；還有傳說，當他過河時，河神站起身來向他問候：“你好啊，畢達哥拉斯”；還有人說，他的一條腿肚子是金子做的。畢達哥拉斯相信人的靈魂可以轉生，有人為了嘲弄他的宗教教義而傳言，一次當他看到一隻狗正遭人打時，他便說：別打了，我從他的聲音中已認出，我朋友的靈魂是附在了這條狗身上了。

如果有人要想加入畢氏團體，就必須接受一段時期的考驗，經過挑選后才被允許去聽坐在帘子後面的畢達哥拉斯的講授。只有再過若干年後當他們的靈魂因為受音樂的不斷熏陶和經歷貞潔的生活而變得更加純凈時，才允許見到畢達哥拉斯本人。他們認為，經過純化並進入和諧及數的神秘境界，可以使靈魂趨近神聖而從輪迴轉生中得到解脫。

提起“勾股定理”，人們便很容易與畢達哥拉斯聯繫起來，西方數學界一般把“勾股定理”叫做“畢達哥拉斯定理”。但據本世紀對於在美索不達米亞出土的楔形文字泥板書所進行的研究，人們發現早在畢達哥拉斯以前1000多年的古代巴比倫人就已經知道了這個定理。而且在中國的《周髀算經》中記述了約公元前1000年時，商高對周公姬旦的回答已明確提出“勾三、股四、弦五”。不過“勾股定理”的證明，大概還應當歸功於畢達哥拉斯。傳說，他在得出此定理時曾宰殺了100頭牛來祭繆斯女神，以酬謝神靈的啟示。繆斯是神話中掌管文藝、科學的女神。

畢達哥拉斯是科學史上最重要的人物之一，他的思想不僅影響了柏拉圖，而且還一直影響到文藝復興時期的一些哲學家和科學家。

畢達哥拉斯曾旅居埃及，後來又到各地漫遊，很可能還曾去過印度。在他的遊歷生活中，他受到當地文化的影響，了解到許多神秘的宗教儀式，還熟悉了它們與數的知識及幾何規則之間的聯繫。旅行結束后，他才返回家鄉撒摩斯島。由於政治的原因，他後來遷往位於南義大利的希臘港口克羅內居住。在這裡創辦了一個研究哲學、數學和自然科學的團體，後來便發展成為一個有秘密儀式和嚴格戒律的宗教性學派組織。

鼎盛年約在公元前531年，畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數”是該學派的哲學基石。而“一切數均可表成整數或整數之比”則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的“掘墓人”。畢達哥拉斯定理提出后，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰(一切數均可表成整數或整數之比)，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的衝擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的衝突上：任何量，在任何精確度的範圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接這一悖論直接觸犯了畢氏學派的根本信條，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱“第一次數學危機”。

畢氏學派企圖用數來解釋一切，不僅萬物都包含數，而且認為萬物就是數。他們發現，數是音樂和諧的基礎。當一根琴弦被縮短到原來長度的一半時，撥動琴弦，音調將提高8度；比率為3∶2和4∶3時，相對應的是高5度和高4度的和聲。和聲就是由這樣一些不同的部分組成的整體。他們認為，正是由於各種事物的數值比確定了它們分別是什麼，並顯示出彼此之間的關係。

畢氏學派在哲學上與印度古代哲學有相類似之處。都是把整數看作是人和物的各種性質的起因，整數不僅從量的方面而且在質方面支配著宇宙萬物。他們對數的這種認識和推崇，促使他們熱衷於研究和揭示整數的各種複雜性質，以期來左右和改變自己的命運。

他們對整數進行了分類。如整數中包含有奇數、偶數、質數、親和數及完全數等等。

他們注意到整數48可以被2、3、4、6、8、12、16、24、整除，這8個數都是48的因子，這些因子的和是75；奇妙的是75的因子有3、5、15、25，而它們的和又恰好是48。48與75這一對數叫做“半親和數”。不難驗算出140與195也是一對半親和數。考慮到1是每個整數的因子，把除去整數本身之外的所有因子叫做這個數的“真因子”。如果兩個整數，其中每一個數的真因子的和都恰好等於另一個數，那麼這兩個數，就構成一對“親和數”。

220與284是畢達哥拉斯最早發現的一對親和數，同時也是最小的一對親和數。因為220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，而它們的和是284。284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。有人曾經把親和數用於魔術、法術、占星學和占卦上，使它帶有迷信和神秘的色彩。如認為若兩個人都佩帶上分別寫著這兩個數的護符，就一定保持良好的友誼，這當然是非常滑稽可笑的。

有趣的是，後來人們總保持著對親和數研究的興趣。1636年，法國數學家費馬發現了第二對親和數，它們是17962與18416。兩年後笛卡兒找出了第三對親和數。瑞士的大數學家歐拉曾系統地去尋找親和數，1747年他一下子找出了30對，3年後他又把親和數增加到了60對。令人驚奇的是，除去220與284之外最小的一對親和數1184與1210竟然被這些數學大師們漏掉了。它被一個16歲的義大利男孩帕加尼尼在1886年發現。至今，已經知道的親和數已有1000對以上。

更有趣的是人們還發現了親和鏈：

2115324，3317740；

3649556，2797612。

由於第一個數的因子之和是第二個數，第二個數的因子之和是第三個數……第四個數的因子之和又恰好是第一個數，它們是一個四環親和鏈。一些構成親和鏈的數，只要給出其中的一個，便可以計算出其他的數。如12496與其他四個數構成一個五環親和鏈。有計算器的讀者不妨試算一下，補上其餘的四個數。

其他與占卦臆測有聯繫的是完全數。完全數的真因子之和是它自己，就好像自己和自己是“一對”親和數。最小的完全數是6=1+2+3。畢氏信徒們認為，數具有象徵性的含義。例如，4是公正或報應的數，表示不偏不倚。上天創造世界，6就是個完全數。整個人類是諾亞方舟上的神靈下凡，這一創造是不完善的，因為8不是完全數，它大於它的真因子和：1+2+4。像4、8這樣的數叫做虧數。相反凡小於其因子和的整數叫做盈數。

最小的三個完全數是6，28，496。直到1952年人們才發現12個完全數。歐幾里德的《原本》第九卷的最後一個命題是，證明：如果2^n-1是一個質數，則2^(n-1)·(2^n-1)是一個完全數。由這個公式所給出的完全數都是偶數。後來大數學家歐拉證明了每一個偶完全數必定是這種形式的。人們自然會問，是否還有其他的完全數？即有沒有奇完全數？但至今還沒有人能夠回答這個問題。

1952年，藉助SWAC數字計算機，又發現了五個完全數：1957年用瑞士的BESK計算機發現了另外一個；後來有人用IBM7090計算機又發現了兩個。至今為止已知道的完全數已有27個。畢氏學派是一個帶有神秘色彩的宗教性組織，但是他們對於數學的研究確實作出了重大貢獻。由於畢達哥拉斯的講授都是口頭的，按照他們的習慣，對於各種發現或發明都不署個人姓名，而是都歸功於其尊敬的領導者，所以很難辨別出他們研究的成果究竟是由誰來完成的。畢氏學派後來在政治鬥爭中遭到失敗，畢達哥拉斯逃到塔林敦后，終於還是被殺害。他死後，他的學派的影響卻仍然很大，其學派又延續了200年之久。

是公元前六世紀，哲學家克利特人艾皮米尼地斯說的話：“所有克利特人都說謊，他們中間的一個詩人這麼說。”如果這名詩人說的是真的，那麼，克利特人就是說謊者，這個詩人也不能排除在外；如果這名詩人說謊，那麼就存在克利特人，他不是說謊的群體，這個詩人也應該不是說謊者，這和詩人說謊矛盾。這並不是悖論。

運動場問題是芝諾提出的四個悖論中的第一個，又稱為兩分法悖論其結論為：運動不可能開始。

其論點為：因為一運動物體在到達目的地之前，必須先抵達距離目的地之一半的位置。即：若要從A處到達B處，必須先到AB中點C，要到達C，又須先到達AC的中點D。如此繼續劃分下去，所謂的“一半距離”數值將越來越小。最後“一半距離”幾乎可被視為零。這就形成了此一物體若要從A移動到B，必須先停留在A的悖論。這樣一來，此物體將永遠停留在初始位置（或者說物體初始運動所經過的距離近似0），以至這物體的運動幾乎不能開始。即：由於運動的物體在到達目的地前必須到達其半路上的點，若假設空間無限可分則有限距離包括無窮多點，於是運動的物體會在有限時間內經過無限多點。

動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。

由於追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。

如柏拉圖描述, 芝諾說這樣的悖論, 是興之所至的小玩笑.。

首先，巴門尼德編出這個悖論, 用來嘲笑"數學派"所代表的畢達哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想.

然後, 他又用這個悖論, 嘲笑他的學生芝諾的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想.

最後, 芝諾用這個悖論, 反過來嘲笑巴門尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想.

首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對於觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。但是，對於列隊B，列隊C在這一瞬間移動了2個距離單位。可是，在這一瞬間，它們都只能移動一個距離單位。

是古希臘數學家芝諾提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論中的一個。人們通常把這些悖論稱為芝諾悖論。

芝諾提出，由於箭在其飛行過程中的任何瞬間都有一個暫時的位置，所以它在這個位置上和不動沒有什麼區別。中國古代的名家惠施也提出過，“飛鳥之景，未嘗動也”的類似說法。

一支飛行的箭是靜止的。

由於每一時刻這隻箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處於運動狀態。

芝諾悖論是古希臘數學家芝諾提出的一系列關於運動的不可分性的哲學悖論。這些悖論由於被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為後人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關於“存在”不動、是一的學說。這些悖論中最著名的兩個是：“阿喀琉斯跑不過烏龜”和“飛矢不動”。

克萊特契克在他的書中指明必須限制條件，這才是一場公平的遊戲，例如A，B二人對對方穿領帶的習慣一無所知等。

他還假定每一個比賽者帶有從0到任意數量（比如說一百元）的錢。以此假定構成兩人錢數的矩陣，就可看出這個此賽是“對稱的”，不會偏向任何一方。但他沒有指出兩個比賽者的想法錯在哪裡。A，B二人的想法顯然出了問題，但問題到底出在那裡？。其實問題就在A，B二人只以“可以贏更多的錢”這點，就做出這場賭博對自己有利的結論，當然是錯誤的。顯然是缺乏思考，對客觀事物的複雜程度缺乏認識，才會做出如此樂觀的結論。這場賭博對誰有利的考慮誰可以贏得這場賭博。而不是以“可以贏更多的錢”來判斷。

若以誰有勝算來判斷，必須注意二點：

（一）必須計算期望值。

（二）“錢包里有多少錢”是很隨機的。無法有一定的標準。難以論定這場賭博的勝負，但若將“所有人類的錢包里的錢”相加后除以全人類數目，還是可以得出一個平均值. 若錢包里的錢比平均值大，那勝算比較大，反之較小。各國家，各地區人的錢包里的平均值都不一樣，全人類太廣泛，以國家，地區來分更加有勝算。但就算是費很大力氣來得到這平均值，還是很難確定有勝算的。由此可見A，B二人認為這場賭博對自己有利的結論是做得多麼輕易，缺乏思考。其實最有勝算的方法是知道對方的錢包里有多少錢。