單葉函數

複變函數中一類重要的解析函數。在複平面區域D上單值的解析函數若對D中任意的不同的兩點有,就稱作是單葉的。由著名的黎曼映射定理知道，任意兩個至少有兩個邊界點的單連通區域D1及D2，一定可以相互共形映射，即存在解析的單葉函數ƒ，將D1一一地映射為D2,所以對單葉函數的研究在複變函數論中顯得很重要。由於單葉映射也是最簡單的映射，所以對它的討論也是複變函數論中最基本的內容之一。

若解析函數在D中單葉，則在D中成立；反之，在D中成立，不一定能保證在D中單葉，只能說在一點的一個鄰域內單葉。

最早對單葉函數有重要貢獻的是P.克貝(1909)、L.比伯巴赫(1916)、G.費伯(1916)等。例如，比伯巴赫證明了重要的偏差定理：若在中正則單葉，且,則；等號限於克貝函數時成立。在證明這些不等式時，比伯巴赫討論了單葉的半純函數 ,給出了面積原理：g()將映射的區域的余集的面積是非負的，這可寫成。由此他證明：若 在中解析單葉，則。由此可導出克貝掩蓋定理:映射后的像一定掩蓋的圓；當且僅當ƒ(z)為克貝函數時，正好掩蓋的圓。再進一步的結果就是偏差定理。對於單葉函數，有很多有趣的幾何性質，如 Γ.М.戈盧津證明了如下迴轉定理：若 在中正則單葉，則對時，有當;,當。又如戈盧津證明了n-截線定理：若在中正則單葉,將映為R，則一定存在從出發在R 內的n 條射線，兩條相鄰射線的夾角為，使得這n條射線的總長至少為n。1916年，比伯巴赫提出了一個猜想：若在中正則單葉，則對所有n都成立，等號成立限於克貝函數。這個猜想稱為比伯巴赫猜想，它曾經是單葉函數的研究的中心問題。1925年，J.E.李特爾伍德證明了|αn|n，此後迭經改進，其中重要的一步是1965年И.М.米林應用他創造的方法證明了。另外,1972年C.H.菲茨傑拉爾德建立了重要的不等式，證明了。1923年K.勒夫納創造了參數表示法，證明了。1955年，P.R.加拉貝迪安與M.M.席費爾應用變分法證明了|。1960年Z.恰爾任斯基和席費爾應用格倫斯基不等式簡化了證明。沿用這個方法，1968年，R.N.佩德森和小沢滿各自證明了。1972年，佩德森和席費爾證明了。另外可以證明，對於一些特殊函數類，比伯巴赫猜想成立，如星象函數、近似凸函數、實係數函數等。1955年W.K.海曼證明了，等號成立限於克貝函數。即對於一個固定的，在中解析單葉的函數，當n充分大時，比伯巴赫猜想成立。

由比伯巴赫猜想產生了一系列相關的猜想，如米林猜想，羅伯森猜想，希爾斯莫爾猜想，羅戈辛斯基猜想，李特爾伍德猜想等，其中最重要的是米林猜想；若ƒ在D中正則單葉且,,則，對所有都成立。可以證明米林猜想導出比伯巴赫猜想。1984年L.de布朗基結合勒夫納方法及米林方法證明了米林猜想，從而證明了比伯巴赫猜想。歷時68年終於證明了這個著名的猜想。

參考書目

W.K.Hayman,Multivalent Functions，Cambridge Univ.Press, Cambridge, 1958.

J.A.enkins,Univalent Functions and ConforMal Map-ping,Springer-Verlag, Berlin,1958.

L.de Branges,Acta MatheMatica,154, pp. 137～152,1985.