元嘉歷
元嘉歷
《元嘉歷》是中國南北朝時期天文學家何承天創立的曆法，屬於陰陽曆。《元嘉歷》訂正了舊曆所定的冬至時刻和冬至日所在位置，改“平朔”為“定朔”，創立調日法，改革了“上元積年法”，計算了歲差數值百年一度，提高了天文數據的精確度，豐富了“渾天說”。
東漢以前的曆法中，都是把月行的速度當作不變的常數，以朔望月的周期來算朔，算出的朔後來稱作“平朔”東漢前後發現了月亮運動的不均勻性，此後人們就設法對平朔進行修正，以求出真正的朔，稱為“定朔”。首次載有這種修正演演算法的曆法，是劉洪創製的《乾象曆》。隋代劉焯的<皇極曆>，才把日行也有遲疾（就是地球繞日運動不均勻性的反映）的因素考慮到“定朔”的計算中去。何承天繼承了舅父徐廣四十餘年對日月五星的觀測記錄和研究資料，又繼續觀測研究了四十餘年，於宋元嘉二十年（公元443年）創立了《元嘉歷》。
《元嘉歷》從南朝宋傳到百濟之後，一直使用到百濟滅亡后的公元661年，一般認為元嘉歷是554年通過百濟傳到日本大和政權的，日本則直到公元697年才廢除《元嘉歷》，正式採用《儀鳳歷》。2011年9月，在日本福岡西區元岡古墳群（公元7世紀中葉左右）出土了刻有顯示公元570年的“庚寅”和“正月六日”等銘文的鐵制大刀，據大刀的銘文證明，《元嘉歷》傳到日本后不久，日本列島就開始使用了。
《元嘉歷》將19年設置7閏月，1太陽年與等於365.2467日），1朔望月約等於29.530585日。
古代曆法都使用上元積年，計算煩瑣，何承天創近距取元，在推算五星時各設不同的曆元，簡化了計算。他發明調日法，依據圖中的不等式：
式中a﹑b﹑c﹑d﹑m﹑n均為正整數。
例如，何承天為求與觀測密近的朔望月(見月)數據，選取26/49為其日以下餘數部分的強近似值，取9/17為弱近似值。他認為取n=15﹐m=1，則為最符合他的觀測結果﹐即《元嘉歷》的朔望月長度為日。調日法為後世廣泛採用。
創用定朔演演算法 何承天明確地認識到如果日食發生的日期在晦日或初二，月食發生的日期在望的前後，都是很不合理的，因而提出了通過確定太陽和月亮的實際位置並從它們的關係推算真正的合朔時刻的方法。這樣算出的朔就是“定朔”。根據定朔法，朔望與月亮實際位置相符，於是日食一定發生在朔日，月食一定發生在望日。但由於當時還不知道太陽運動的不均勻性，所以僅僅考慮月行盈縮的修正就會在曆法中產生接連三個大月或接連兩個小月的現象。這種現象難於為人們接受，何承天也為此而受到了錢樂之、皮延宗等的批評。最後，《元嘉歷》仍採用了平朔。雖然定朔演演算法直到唐代才真正實行，但何承天創用定朔演演算法，仍可以說是中國曆法史上的一大進步。
創用定朔演演算法
利用月食測定日度 《元嘉歷》的另一項貢獻是利用月食測定日度。何承天曾用圭表測影考校冬至日和夏至日，發現當時曆法所定已差三日有餘。為糾正這種不符實際天象的情況，他倡議並採用後秦姜岌所發明的以月食考校冬至時太陽所在位置的方法。以月驗日比以昏明中星推算要準確和簡便得多。這種方法經過何承天的推行而為後世歷家所普遍使用。
利用月食測定日度
實測晷影長度以定節氣 元嘉以前，後漢四分曆和楊偉景初歷載有各節氣晷影長度，兩歷相應數值完全相同。但在這兩種曆法中，春、秋分或立春、立冬等有對應關係的節氣，其相應影長卻有所不同，有時甚至相差數寸以上，這也是很不合理的。這種情況說明兩歷的歷面所定節氣要比真實節氣有幾天的誤差。為糾正後漢四分曆和景初歷的錯誤，何承天從對應節氣的影長應該大致相等的認識出發，重新實測了二十四節氣晷影長度的數值，並用以推算節氣。這種作法對後世諸歷也產生了積極的影響。
實測晷影長度以定節氣
何承天還依據冬至前後日影的測算判定按景初歷所定冬至已後天三日。他在《元嘉歷》中作了改正。中國古代曆法大多以寅月為正月，以冬至為曆元。何承天認為，既然以寅月為歲首，那就應該以寅月的中氣——雨水為氣首，元嘉歷的曆元就定在正月朔旦夜半雨水的時刻。歲首與曆元在同日，當然是比較方便的。中國古代曆法大多還要推算上元積年，但考慮的因素越多，推算就越複雜。何承天為改變這種情況，採取了對五星運動根據實測數值各設近距曆元的方法。使用近距曆元，保持了各基本天文數據原有的實測精度，簡化了計算，並且可以避免為推算上元時對天文數據作出人為的修改。這種方法是很先進的，但可惜的是長期未被後世歷家所採納。此外，何承天實測中星以定歲差，給出新的觀測值，創用調日法的數學方法等，也都是值得稱道的成就。