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- 數學名詞
- 《北京文學》編輯部主任
辛群
數學名詞
在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。我們分別稱之為 Sp(2n,F) 與 Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。
抽象而言，辛群可定義為F上一個維向量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的向量空間稱為辛向量空間。一個辛向量空間V產生的辛群記為。
當，有)，當時，的真子群。
的李代數可以刻劃為滿足下列條件的階方陣A：
緊辛群定義為（表四元數）上保持標準埃爾米特形式
之可逆線性變換。換言之，即四元數上的酉群。有時此群也被稱為超酉群。即單位四元數構成之群，拓撲上同胚於三維球。
並不同構於之前定義的。下節將解釋其間的聯繫。
是維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足
其李代數由滿足下述關係的n階四元數矩陣構成
其中是A的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。
緊辛群有時稱為酉辛群，記為。
以上定義之與之李代數在復化后給出相同的單李代數。此李代數記作。此李代數也就是復李群之李代數，記作。它有兩個不同的實形式：
緊緻形式，即之李代數。
正規形式，即。
| 辛群之間的關係 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 矩陣 | 李群 | dim/R | dim/C | 緊緻 | π | |
| Sp(2n,R) | R | 實 | – | 否 | Z | |
| Sp(2n,C) | C | 復 | 否 | 1 | ||
| Sp(n) | H | 實 | – | 是 | 1 | |