辛群

辛群，原名佟常明。遼寧瀋陽人。中共黨員。畢業於北京大學文學院哲學系。1948年參加革命工作，歷任北京軍管會文化接管委員會幹部，北京市人民政府新聞處副科長，北京人民出版社編輯部副主任，北京市人委新聞出版處副科長，北京市文化局副科長，北京市出版局及文化局副科長、處長、副主任，北京市出版局處長、黨總支書記，《北京文學》編輯部主任，副主編。中國作家協會北京分會分黨組成員，原北京市文聯黨組成員、書記處書記、理事。1945年開始發表作品。1982年加入中國作家協會。

在數學中，辛群可以指涉兩類不同但關係密切的群。在本條目中，我們分別稱之為 Sp（2n,F) 與 Sp(n)。後者有時也被稱作緊緻辛群以資區別。許多作者偏好不同的記法，通常是差個二的倍數。本條目採用的記法與矩陣的大小相稱。

Sp（2n,F)域 F 上次數為 2n 的辛群是由 2n 階辛矩陣在矩陣乘法下構成的群，記為 Sp（2n,F）。由於辛矩陣之行列式恆等於一，此群是 SL（2n,F) 的子群。

抽象而言，辛群可定義為 F 上一個 2n 維矢量空間上保存一個非退化、斜對稱雙線性形的所有可逆線性變換。帶有這種雙線性形的矢量空間稱為辛矢量空間。一個辛矢量空間 V 產生的辛群記為 Sp(V）。

當 n=1，有 Sp（2,F)=SL（2,F），當 n>1 時，Sp（2n,F) 是 SL（2n,F) 的真子群。

通常將域 F 取為實數域R 、複數域 C或非阿基米德局部域，如p進數域 Qp。此時辛群 Sp（2n,F) 是維度等於 n（2n+ 1）的連通代數群。Sp（2n,c）是單連通的，而 Sp（2n,R）的基本群則同構於Z。

Sp（2n,F）的李代數可以刻劃為滿足下列條件的 2n 階方陣 A：

ΩA+ AΩ = 0其中 A表示 A的轉置矩陣，而 Ω是下述反對稱矩陣Ω（0,In

-In,0)

Sp(n)

緊辛群 Sp(n）定義為 H（H表四元數）上保持標準埃爾米特形式

之可逆線性變換。換言之，Sp(n）即四元數上的酉群 U(n,H）。有時此群也被稱為超酉群。Sp⑴即單位四元數構成之群，拓樸上同胚於三維球S^3。

Sp(n）並不同構於之前定義的 Sp（2n,R）。下節將解釋其間的聯繫。

Sp(n）是 n（2n+ 1）維之緊緻、連通、單連通實李群，並滿足

其李氏代數由滿足下述關係的 n 階四元數矩陣構成

其中 是 A的共軛轉置（在此取四元數之共軛運算）。李括積由矩陣之交換子給出。

辛群之間的關係

以上定義之Sp（2n,R) 與 Sp(n）之李代數在復化后給出相同的單李代數。此李代數記作 Cn。此李代數也就是復李群 Sp（2n,C）之李代數，記作Sp（2n,C）。它有兩個不同的實形式：

緊緻形式 sp(n），即 Sp(n）之李代數。

正規形式Sp（2n,R) ，即Sp（2n,R）。