偏相關係數

在多元回歸分析中，在消除其他變數影響的條件下，所計算的某兩變數之間的相關係數。

在多元相關分析中，簡單相關係數可能不能夠真實的反映出變數X和Y之間的相關性，因為變數之間的關係很複雜，它們可能受到不止一個變數的影響。這個時候偏相關係數是一個更好的選擇。

偏相關係數是在排除了其他變數的影響下計算變數間的相關係數。假設我們需要計算X和Y之間的相關性，Z代表其他所有的變數，X和Y的偏相關係數可以認為是X和Z線性回歸得到的殘差Rx與Y和Z線性回歸得到的殘差Ry之間的簡單相關係數，即Pearson相關係數。

偏相關係數的計算可以有下面的三種方法

1 根據上面的說法，從線性回歸的角度計算變數間的偏相關係數，但是這樣做很麻煩。

2 迭代法，可以認為簡單相關係數為0階偏相關係數，任何n階偏相關都可以通過3個(n-1)階偏相關係數計算出來。

3相關矩陣求逆法，即首先計算出所有變數的相關性矩陣，然後求它的逆矩陣。這樣可以求出任何兩兩變數之間的偏相關係數。

偏相關係數的檢驗可以有兩種方法。一種是t-test，另外一種fisher 轉化法。

利用偏相關係數進行變數間凈相關分析通常完成兩大步：

第一：計算樣本的偏相關係數。

利用樣本數據計算偏相關係數，反應了兩個變數間凈相關的強弱程度。在分析變數x1和x2之間的凈相關時，當控制了變數x3的線性作用后，x1和x2之間的一階偏相關係數定義為：

第二：對樣本來自的兩個總體是否存在顯著的凈相關進行推斷：

1）提出原假設，即兩總體的偏相關係數與零誤顯著差異。

2）選擇檢驗統計量。偏相關分析的檢驗統計量為t統計量，它的數學定義為：

式中，r為偏相關係數，n為樣本數，q為階數。統統計量服從n-q-2個自由度的t分佈。

3)計算檢驗統計量的觀測值和對應的概率p-值。

4）決策。如果檢驗統計量的概率p-值小於給定的顯著性水平α，怎應拒絕原假設，反之，則不能拒絕原假設。