等分

數學術語之一

等分(děngfēn equally divide)等量劃分。另“等分”就是將一個物體或數量等分幾份的一種解題方法。運用這種方法解答有關多邊形的面積問題,常會使人有“柳暗花明”的感受。

釋義


1.等分 指方劑中各個藥物的用量相等。
2.等級名分。晉 袁宏 《後漢紀·桓帝紀下》:“執誠說,修規矩,責名實,殊等分,則守文之風有益於時矣。”謂使分量或數額多寡相同。
北魏 賈思勰 《齊民要術·造神麴並酒等》:“大率:小麥,生、炒、蒸三種,等分。”
《南史·蕭惠開傳》:“封秩鮮而兄弟甚多,若全關一人,則在我所讓,若人人等分,又事可悲恥。”
李時珍 《本草綱目·序例上》:“今方家雲等分者,非分兩之分,謂諸葯斤兩多少皆同爾,多是丸散用之。”

解題妙用


運用定義

等分
等分
例1 求圖1正六邊形的面積。(單位:厘米)分析與解 將正六邊形按圖2所示等分成3個平行四邊形。所以,正六邊形的面積為:
例2 如圖3,四邊都相等的兩個完全相同的四邊形,在兩邊的中點處部分重合。已知重合部分的面積是8平方厘米。求陰影部分的面積。分析與解 將圖3按圖4所示等分成7個棱形。所以,陰影部分的面積為:

梯形定義

例3 如圖5所示,求出中隊旗的面積。(單位:厘米)
分析與解 將圖5按圖6所示等分成2個梯形。所以,中隊旗的面積為:
例4 將正方形的四條邊分別向兩端各延長一倍,連接8個端點得到一個八邊形(如圖7),求陰影部分的面積。
分析與解 將八邊形按圖8所示等分成4個梯形。所以,陰影部分的面積為:

三角形面積法

例5 如圖9,梯形的面積是36平方厘米,BE是BC的一半。求陰影部分的面積。
分析與解 將梯形按圖10所示等分成3個等底等高的三角形。所以,陰影部分的面積為:
例6 如圖11,平行四邊形的面積是49平方厘米,E是底邊上的中點。求陰影部分的面積。
分析與解 將平行四邊形按圖12所示等分成4個等底等高的三角形。所以,陰影部分的面積為:

中點性質

例7 如圖13,長方形ABCD的長是10厘米,寬是6厘米,E、F分別是AB和AD的中點。求陰影部分的面積。
分析與解 將陰影部分等分成與△AEF完全相等的3個三角形(如圖14)。所以,陰影部分的面積為:
例8 如圖15,一張邊長是4厘米的正方形紙,剪去兩鄰邊中點連線的一個角,求剩下的面積。
分析與解 將正方形等分成8份(如圖16),其中剪去的面積佔1份。所以,剩下的面積為

十等分圓


凡是用尺規可作的圖,都可只用圓規作出(不包括連續點)。此題也不例外。方法如下。
注意:下面的作圖只用圓規,不用直尺。並把“以點O為圓心,以AB為直徑作圓”簡寫做“作圓(O,AB)”
設半徑為R,十邊形邊長為a,則。解得,.
利用六等分圓周的方法可以求得2a,3a,4a……na……。我們可以利用下面的方法求a/n,在圓(O,na)取點A作圓(A,),交點為B,。再作菱形,得。至此,我們可作一條已知線段的任意有理數倍數。
已知線段的任意無理數倍數(只要尺規作圖能作的)也都可單用直尺作出,下面只說可作形如的線段可作。
利用六等分圓周的方法可以求得的線段,若再作菱形使其一條對角線為2a,一邊為,則另一條對角線長為。若對角線和邊長分別改為2a,3a,則另一條對角線長為。下面幾個算式是:,,,,,,,,,……。